Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Высокочастотная часть сдвига
Рассмотрим сначала область I. В ней можно воспользоваться поправкой к амплитуде рассеяния (122,1), из которой, однако, необходимо предварительно исключить вклад виртуальных фотонов, относящихся к области II. Такие фотоны вносят лишь малый вклад в формфактор g, который поэтому не нуждается в изменении. В функцию же f виртуальные фотоны малых частот вносят большой вклад из-за инфракрасной расходимости. Поэтому в качестве f в (122,1) надо подстаиить функцию /и, из которой область ko < х уже исключена.
Такое исключение можно было бы произвести прямым способом, вычитая из / интеграл по области ko < х. Требуемый результат можно, однако, получить без новых вычислений, используя результаты § 122.
Для этого заметим, что исключение частот ko < х можно рассматривать как один из возможных способов инфракрасного обрезания. Результат же для поправки к сечению рассеяния не может, разумеется, зависеть от способа обрезания при условии, что таким же образом обрезается и вероятность испускания реальных мягких фотонов, т. е. в понятие «упругого» рассеяния включается испускание с частотами лишь от х до заданного сотах- Если выбрать (Оп-.ах = х, то явный учет испускания фотонов станет излишним. Отсюда ясно, что /и получается из определенной в § 122 функции fa просто заменой omax на и. В частности, в нерелятивистском случае
«ад
Преобразуем теперь поправку (122,1) к амплитуде рассеяния, представив ее как результат соответствующей поправки к
608 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ (ГЛ. Х1Г
эффективной потенциальной энергии электрона в поле. Сравнивая амплитуду (122,1)
— е (и'*<2РадФ«) с борновской амплитудой рассеяния (121,6)
— е (и'*Фы),
мы видим, что роль такой поправки играет (в импульсном представлении) функция
е 6Ф (q) = ?<Зрад (q) Ф (q). (123,6)
В нереллтивистском случае, взяв 9 и g из (113,14) и (117,20),
а для f подставив из (123,5), получим
6Ф (Ч) = { - тйг (ш ? + ? - J-) + ^ ,V }Ф (q). . (123,7)
Соответствующая функция бФ(г) в координатном представлении *):
м’(г) = Iff 0" ? + Ж - т)Аф W - ' »тф<г>- <123-8>
Смещение уровня бЕ[1> получим, усредняя ебФ(г) по волновой функции невозмущенного состояния электрона в атоме, т. е. как соответствующий диагональный матричный элемент2):
«4"= (in? + ? -i)1.4фI »¦-1 ^-01W®I s>.
(123,9)
В первом члене достаточно использовать при усреднении нерелятивистскую функцию электрона. Во втором же члене такого приближения недостаточно: нулевое приближение по нерелятивистским функциям обращается в нуль ввиду отсутствия у матриц у диагональных элементов. Поэтому здесь надо воспользоваться найденной в § 33 приближенной релятивистской функ-
*) Подчеркнем отличие этой поправки к потенциалу от поправки, рассматривавшейся в § 114. Последняя включала в себя только эффект поляризации вакуума (диаграмма (121,2, а)) для кулонова поля как такового. Поправка же (123,8) относится уже ко взаимодействию поля с электроном и включает в себя также и эффект изменения движения электрона (диаграмма (121,2, б)).
2) Строго говоря, определенные в § 117 формфакторы относились к вершинному оператору при двух свободных электронных концах (р2 = = р'2 — т2). Для электрона же в атоме энергия Es — уровень, вообще никак не связанный с р. Этим отличием можно, однако, пренебречь в области I.
§ 123] РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ 609
цией С0ХРанив в неи малые (в стандартном пред-
ставлении) компоненты %. Имеем
¦ф’уф = ф*ах — х’аф
и, подставив из (33,4)
Х=2^<ФФ= ~ 2^УФ,
получим
(5|ууф |5>= — ^ {ф* (аУФ)(аУф) + (Уф* - а) (аУФ) ф} d3х =
= jj {ф* АФ • ф - 2гаф* [УФ • УФ]} сРх
(при преобразовании интеграла использовано тождество (33,5) и произведено интегрирование по частям). Поскольку Ф —Ф(г), то
г аг
и поэтому
— ie [УФ • у] = у- <Л,
где I = —г [rV] — оператор орбитального момента. Наконец, собрав полученные выражения и подставив в (123,9), найдем
=W 0” ?¦+ w) <s !¦4,11 s>+ I'V7ГI *>•
(123,10)
где теперь уже в обоих членах усреднение производится по нерелятивистской волновой функции.
Низкочастотная часть сдвига
Для вычисления второй части сдвига уровней используем прием, основанный в конечном итоге на условии унитарности.
В силу возможности испускания фотона возбужденное состояние атома является квазистационарным (а не строго стационарным). Такому состоянию можно приписать комплексное значение энергии, причем его мнимая часть равна — w/2, где w — вероятность распада состояния, т. е. в данном случае полная вероятность испускания фотона (см. III, § 134). В нерелятивистском приближении излучение является дипольным, и
610 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. XII!
согласно (45,7) имеем
Im 6ES = - -i = - } ? | cWf (Es - Erf
s'
(где суммирование производится по всем нижележащим уровням, Es> < Es), или в эквивалентном виде:
00
Im6?s = -f$ ^-?|dss42(?s-?s')36(?s-?s'-M). (123,11)
О s'
Чтобы найти вещественную часть 6Es, следует рассмотреть Es как комплексную переменную и произвести аналитическое продолжение. Это можно сделать, рассматривая 8-функции как происходящие от полюсов. Правило обхода полюсов задается, как обычно, добавлением отрицательной части к массам виртуальных частиц, в данном случае — к массам ms- электрона в промежуточных состояниях атома. Роль этих масс играют ms' = m-\- Es', так что надо положить
