Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
k2rf I k I
(ак2 + Я2) л/к2 + Я2
wma
-4-J
kl
,Vk2 + Я2
та
- J
a J
d г к I
-1- ^тах
(ак2 + А2) Ук2 +А2
оо
______1_ Г dz
a J
(az2 + 1) л/z2 + 1
Во втором интеграле подставлено |к|-vA,z и верхний предел (wmaxA) заменен на оо, что допустимо ввиду сходимости интеграла.
Возникающие затем интегралы по х в (12,0,10) не могут быть полностью выражены через элементарные функции. Результат представим в виде
2®шах
da ¦
где ’}
я
//гТурр,
п L
Fi-
2е
я|р|
•In
e + l Pi
2^2 + 1
1 Vl2 + 1
2 т* + q2
ln(g + V^2+l)-- 1
ЯЬ*
\_______dx .
J ал/1 — а
!п
1 + Vl ~а
Vа
(120,11)
(120,12)
(120,13)
[tn2 -f- <12л: (i — ж)].
Найдем асимптотическое выражение для сечения в ультрарелятивистском случае. При этом предполагается, что не только 8»т, но и |q|^/7i, т. е. угол рассеяния не слишком мал. В этих условиях в интеграле (120,13) существенна область значений х, в которой а <?; 1; после соответствующих пренебрежений
F „ -SLJ^dx « j- \ М^в’) + 1п*+1п(1-дО
1 2яе2 а 2п J *(1~ х)
*) Функция F(|) уже встречалась в задачах к § 98. Это неудивительно, так как с логарифмической точностью (120,11) можно получить, интегрируя сечение испускания фотонов нулевой массы (98,в) по ш в пределах от Я до (Ощад. Если ввести вместо % переменную 0 согласно ? = sh(0/2), то
F (0) = —- (0 cth 0 — 1).
Я
(120,12а)
§ 121) РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 595
Интеграл надо обрезать при т. е. при х ~ m2/q2 снизу
и при 1— jc~m2/q2 сверху. Тогда
lni 1п^--1п2 Й = -йг[1п2^-41п?1пД'
Эта формула справедлива с точностью до квадратов логарифмов, как говорят, с дважды логарифмической точностью. С этой же точностью достаточно положить в первом члене в (120,11)
Б»1.
Окончательно
(120,14)
§ 121. Рассеяние электрона во внешнем поле во втором борцовском приближении
В первых двух приближениях по внешнему полю рассеяние электрона изображается диаграммами
!г
p-p+f
м(1) м(г)
(121,1)
Первой из них отвечает амплитуда М(1) ~ Ze2, рассмотренная в § 80. Амплитуда же второго приближения М(2> ~ (Ze2)2.
Легко видеть, что члены такого же порядка возникают и от радиационных поправок. В третьем порядке теории возмущений радиационные поправки к амплитуде рассеяния изображаются диаграммами
If
596 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. XII
При этом Л1<3> — Ze2-e2, и если Z --- 1, то jW3) ~ М<2К Согласно (64,26) сечение рассеяния
da = | М$ + Mf/ + M\ff ~ (121,3)
В стоящем здесь квадрате амплитуды мы имеем право сохранить, наряду с также и интерференционные члены
между Mft и M(ff и между М$ и Mf). Таким образом, с точностью до членов еб сечение представится суммой
da = da{1) + da{2) -f dapaa, (121,4)
где cfcr(1) — сечение в первом борновском приближении (см. § 80), а поправки к нему
Лт(2> = 2 Re Mi1)Mi2)* do'
dan.„ = 2ReAli}W—a-
16it2 ’
(121,5)
•"рад ~ 1,1 fl ‘’lfi 16Л2
Напомним (см. § 80), что
Mft = \e\(a'y°u)<D(q), (121,6)
где Ф(ч)—компонента Фурье скалярного потенциала постоянного внешнего поля (ф = Лое)) и учтено, что заряд электрона
«=-м-
Два выражения (121,5) могут, очевидно, вычисляться независимо. Первое будет рассмотрено в этом, а второе—в следующем параграфе.
Амплитуда второго приближения, построенная по диаграмме
(121,1), дается интегралом1)
Щ) == _ е2 J { ц (р') у0 Y°ti (р) } ф (р' - f) ф (f - р) (g, •
(121,7)
«4-импульсы» внешнего постоянного поля q\ = f — р и Цч — = р' — /не имеют временных компонент. Поэтому
/о = е = е', (121,8)
где е и е'— начальная и конечная энергии электрона, совпадающие друг с другом при упругом рассеянии.
В чисто кулоновом поле неподвижного заряда Z\e\:
AnZIеI
ф (q) — ¦
ч2
>) Напомним, что здесь надо пользоваться правилом диаграммной техники, относящимся к постоянному внешнему полю, — см. сформулированное в § 77 правило 8.
§ 1211 РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 597
Для такого потенциала интеграл (121,7) логарифмически расходится (при f « р и f « р'). Эта расходимость специфична для кулонова поля и связана с медленностью его убывания на больших расстояниях. Ее происхождение легче всего уяснить на примере нерелятивистского случая. Согласно III (135,8) коэффициент при сферической волне ехр (/1 р | г)/г в асимптотическом выражении волновой функции электрона в кулоновом поле имеет вид
/(0)ехр(— /~-1п|р|г).
Но этот коэффициент и является амплитудой рассеяния электрона в поле, и мы видим, что ее фаза содержит расходящийся (при г-* оо) член. При разложении амплитуды рассеяния по степеням Za этот член приведет к расходимости всех членов разложения, начиная со второго (так как сама функция ДО) пропорциональна Za). Ситуация в релятивистском случае имеет, разумеется, аналогичный характер.
Эти рассуждения показывают в то же время, что расходящиеся члены должны сократиться при вычислении сечения рассеяния, в котором фаза амплитуды несущественна. Простейший путь корректного проведения вычислений состоит в том, чтобы рассмотреть сначала рассеяние в экранированном кулоновом поле, т. е. положить
Ф(9)= ff + да'' (121,9)
с малой константой экранирования б (б<с|р|). Тем самым устраняется расходимость в амплитуде рассеяния, а в окончательном ответе для сечения уже можно положить 6 = 0.
