Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
где F(l) — функция Спенса, определенная согласно (131,19).
В нефизической области (0 < t/m2 < 4) надо положить | = = е“Р. Тогда выражения для формфакторов могут быть приведены к виду
Наконец, выпишем предельные формулы для малых |ф
жИ1пт-т)' *«>—?-. m«W, (117,20)
Формула (117,21) справедлива (в отношении Re/), как говорят, с дважды логарифмической точностью, т. е. с точностью до квадратов больших логарифмов1).
*) Выражение для вершинного оператора в случае одного виртуального и одного реального электронных концов и реального фотонного конца — см. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.! Наука, 1981.-г § 5.1.3,--С. 3-30.
3 (1 + I2) + 2| 2(1 I2)
1п ? +
(117,16)
/ ч о ф § (ф) 2я sin ф ‘
(117.18)
(117.19)
и для больших 111:
f «>- 1 = - -ir (¦i In’-iy- + 2 In In -Ш.) +
(117,21)
t 4m2, — t 4 m2.
(117,22)
582 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. XII
§ 118. Аномальный магнитный момент электрона
Как уже было указано в § 116, значение g(0) определяет радиационную поправку к магнитному моменту электрона. Если ставить себе целью вычисление лишь этой величины, то вычисление всей функции g(t), конечно, не обязательно. С помощью /117,14) и (116,12) имеем
оо оо
g(.0)s=± \ JESp.df = JL\ = (118,1)
я J t 4л J 2я
4m2 I
С учетом этой поправки магнитный момент электрона
>‘ = -5Йг(1+-5г)- <118’2)
Эта формула была впервые получена Швингером (1949).
В следующем приближении (~ос2) радиационные поправки в формфакторах изображаются семыо диаграммами (106,10, в—и). Определение даже одного только значения g(0) в этом приближении требует очень сложных вычислений. Отсылая за деталями вычислений к оригинальным статьям, приводим лишь окончательное значение поправки второго приближения1):
8й (0) = (?У (ш + ’-ГГ — -Г2 + Т t <3>) - - °-328
(118,3)
так что магнитный момент электрона
(С. Somtnerfield, 1957; A. Petermann, 1957).
Остановимся особо на вкладе поляризации вакуума в поправку g(2)(0). Это — диаграмма
(118,5)
содержащая фотонную собственно-энергетическую часть. Она отличается ет диаграммы (117,1) первого приближения лишь тем, что вместо фотонного пропагатора 0{р) = 4л/р в ней стоит произведение
!) Проведений вычислений; по методу унитарности — см. Терентьев М, В.Ц ЖЭТФ. — 1962. — Т. 43, — С. 619.
§ 118) АНОМАЛЬНЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЭЛЕКТРОНА
583
где !P(f2)— вычисленный в § 113 поляризационный оператор в первом (~а) приближении. Частично повторив, с этим изменением, произведенные в предыдущем параграфе вычисления, получим для «поляризационной части» поправки
1
/А am2 f & (f2) l+3cos0 , Q /iiqc\
I-" tfU (') “ vnr-wi -p---------------5----d «. <> 18.6>
причем
f2=__L=4mi(1_cos0) (n8j7)
Jcm. (117,6)). Вычисление этого интеграла, а затем интеграла
оо
(0) = 7? S ta 4Й™ ('') 7- <‘ 18’8>
4 т2
приводит к значению
<<>)—w т) “°’°16 4-¦ <>'ад
оно составляет ~5% всего значения (118,3).
Мы уже отмечали (в конце § 114), что определенный вклад в радиационные поправки могут вносить также и эффекты поляризации вакуума других частиц. Вклад мюонного вакуума в аномальный магнитный момент электрона мы получим по тем же формулам (118,6—8), в которых (в том числе в определении переменной f2) m есть по-прежнему масса электрона (те), но в качестве параметра т, входящего в выражение !?(f2), должна быть взята масса мюона (т^). Величина !P(f2)/f2 есть функция только отношения f2/m2. В интеграле же (118,8) существенна область значений t (а потому и f2), сравнимых с т2; так что отношение f2/m2 ~ (me/m(l)2 <С 1 и для оценки интегралов можно воспользоваться предельной формулой (113,14), согласно которой
&(Р) _ _а_ f2
f 15it ml '
Отсюда видно, что вклад в g(2)(0)> обязанный мюонной поляризации вакуума, имеет лишний малый множитель (те/тц)2.
Обратная ситуация возникает, однако, при нахождении поправок к магнитному моменту мюона. Поскольку в .(118,3) масса частицы не входит, это значение g(2)(0) относится и к мюону, причем в нем учтен вклад поляризации мюонного же вакуума. Но вклад поляризации вакуума других частиц — электронов — оказывается в данном случае значительно больше. Он вычис-
584
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
ляется по формулам (118,6—8), в которых надо теперь заменить т-^т^, а в качестве tP(t) подставить электронный поляризационный оператор. В противоположность предыдущему случаю теперь будет существенна область значений f2/m2 ~ (mjme)2 >> 1 и в качестве ZP(f2) нужно взять предельное выражение (113,15):
(Н. Suura, Е. И. Wichmann, 1957; A. Petermcinn, 1957).
Сложив (118,10) со (118,3), получим для магнитного момента мюона
Заметим, что вклад поляризации мюонного вакуума (118,9) составляет ~2% всего значения g(2)(0). Вклад такого же порядка (ввиду близости масс) дала бы и пионная поляризация вакуума, которая вообще не может быть вычислена точно. По этой причине не имело бы уже смысла и вычисление поправок ~а3 к магнитному моменту мюона.
§ 119. Вычисление массового оператора
На примере вычисления массового оператора продемонстрируем метод прямой регуляризации интегралов Фейнмана.
В первом неисчезающем приближении массовый оператор представляется петлей в диаграмме
