Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 198

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 192 193 194 195 196 197 < 198 > 199 200 201 202 203 204 .. 244 >> Следующая

— ;е«(р_)Г^(— Р+) =
- (~ ief й (р_) уЧ J G (р) уЮ (р - к) y*DXv (f) и (- р+), (117,2)
или, в раскрытом виде,
578
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
где обозначено
(..7,4)
и для краткости опущены множители й(р~) ... и(—р+); везде ниже подразумевается, что обе стороны равенства берутся в этих «обкладках».
Проведенный на диаграмме (117,1) горизонтальный пунктир рассекает ее на две части таким образом, чтобы показать промежуточное состояние, которое фигурировало бы при вычислении мнимой части формфактора по условию унитарности: это есть состояние электрон-позитронной пары с импульсами, отличными от р_, р+. Это же рассечение показывает, где в интеграле
(117,2) должна быть произведена замена полюсных множителей, если производить вычисление по правилу (115,9) (в (117,3) эти множители выделены в подынтегральном выражении).
Интеграл в (117,3) — того же вида, что и в (115,2). Поэтому мы можем сразу написать результат преобразования в форме
(115,10), минуя промежуточные этапы:
2y^‘ Im f (t) — ~ G»vkv Im g (/) = — ¦— y\J-—~^<pMp)
i>>
(117,5)
где t — k2, интегрирование производится по направлению вектора р, а 4-векторы //_ = р и р^ = & — р в определении функции ср^'(р) (117,4) становятся 4-импульсами реальных (а не виртуальных) частиц. Выражение (117,5) относится к системе отсчета, в которой к = 0; это — система центра инерции рождающейся пары р_, р+ (а тем самым — и «промежуточной» пары р1> р'+)- В этой системе, следовательно,
*=(*0.0). Р- = (т- Р-)’ р+=(/Т’ ~р-)' Р = р)*
и легко проверить, что
f2 = (р — Р_)^== 2р2 (1 cos 0) = (1 cos 0), (117,6)
где 0 — угол между р и р_ (причем p2==pi). Подставив теперь
(117,4) в (117,5) и исключив в подынтегральном выражении
§ 117] ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА 579
матрицы yv ... Yv с помощью формул (22,6), получим
V** Im f (/) — -4т o»vkv Im g (/) =
4 л/t (t — 4m2) J 2л (1 — cos 0)
do
Yv (YP + tn) Y^* (YP — Y* + «0 Yv :
- °x n ¦ [- 2/nV + 4/n (P!l + 2/“) +
4 л/1 {t — Am2) J 2я(1 — cos 0)
+ 2 (YP+ — Y/) Y^ (YP_ + Y/)], (117,7)
где введены 4-векторы
f — p — P_ = (0, f), P = P_-p+ = (0, 2p_). (117,8)
Интегрирование сводится теперь к вычислению интегралов
('.^'"’Н-тА5гТ5Т <‘17,9)
с каждым из трех перечисленных числителей.
Интеграл 1 логарифмически расходится при 6-»-0. Переписывая его как
i'-.itri1 —
а (Г2)
f2
о в
мы видим, что расходимость отвечает малым «массам» виртуального фотона. Таким образом, это—«инфракрасная» расходимость. Мы отложим ее подробное рассмотрение до § 122. Здесь отметим только, что она фиктивна в том смысле, что при правильном учете всех физических эффектов подобные расходимости взаимно компенсируются и исчезают. Поэтому мы можем произвольным образом «обрезать» интеграл снизу, а в дальнейшем, при расчете реальных физических явлений, устремить предел обрезания к нулю.
Здесь будет проще всего совершать обрезание релятивистски инвариантным образом. Для этого припишем виртуальному фотону / малую, но конечную массу X (X "С т), т. е. заменим в фотонном пропагаторе D(f) в (117,2)
f2->f2-K2. (117,10)
После этого
-{t-im1)
г С d (f2)' , t — Ат,2 ||Ч
I J In ¦ (117,11)
o
Интеграл /•*, в котором — пространственноподобный 4-вектор, должен выражаться через 4-вектор — из двух имею-
580 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. XII
щихся в нашем распоряжении 4-векторов Pv- и № пространственноподобен (при произвольных р+, /?_) только Р*. Поэтому /(* = APv-. Умножив это равенство на Р^ и вычислив интеграл Рц/v в системе центра инерции пары (компоненты 4-векторов f и Р — из (117,8)), найдем
1 1
I f fp d cos 0 I Г
А = -7г-Т \ —i---а~ = — V \dcos0= —1.
2р2 J 1 — cos 0 2 J
-1 -1
Таким образом,
1*= — Р. (117,12)
Аналогичным образом вычисляется интеграл
/(lv = ^p2(g(lv__№) + |p(lpV (117>13)
(для определения коэффициентов в этом выражении достаточно вычислить интегралы /? и I^P^Py).
Дальнейшее вычисление происходит следующим образом. Подставив (117,11 —13) в (117,7), мы получим между «обкладками» й(р_) ... и(—р+) сумму ряда членов. В каждом из них «прогоним» (с помощью правил коммутации матриц yi1) множитель ур+ направо, а ур-—налево; после этого можно заменить ур_->-т, ур+-+—tn, поскольку
й (Р_) YP_ = тй (р_), уР+и (— р+) = — ти (— р+).
В получающейся в результате сумме
- 4 (/>+/>_) // + 2тР* — ЗЯУ
можно еще заменить Pv- эквивалентным ему (в обкладках!) выражением
(ср. (116,5)). Наконец, выразив все величины через инвариант t = k2 (2p+p~=t—2m2, P2 = 4m2— t) и сравнив затем обе стороны равенства (117,7), получим следующие формулы для мнимых частей формфакторов:
1ш««-7ПЙгр (Ш’14)
»ш / w - е - ь. Чг-} ¦
(117,15)
Инфракрасная расходимость имеется только в 1ш/(/).
§ 1171
ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА
581
Сами функции f(t) и g(t) вычисляются по их мнимым частям с помощью формул (116,11—12). Интегрирование в этих формулах удобно произвести с помощью тех же подстановок, которые были использованы в § 113 при вычислении 9(t). Выраженные через переменную | (113,11) формфакторы определяются формулами
+4^|-[4“т1п2^-2/7®+21п^1п(1+^]}- <117-17)
Предыдущая << 1 .. 192 193 194 195 196 197 < 198 > 199 200 201 202 203 204 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed