Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Mfi=—ejfi^e>(k), (116,7)
где — эффективное (с учетом поляризации вакуума) внешнее поле.
Амплитуда (116,7) описывает два канала реакции. В канале рассеяния инвариантная переменная
t = k2 = (p2 — pt)2<0.
Заменив же р2->-р-, pl-j>-—p+, мы перейдем к аннигиляцион-
ному каналу, отвечающему рождению пары с 4-импульсами р_
и р+. В этом канале
t = (Р_ + Р+)2 > 4т2.
Область же значений 0<(< 4т2 — нефизическая.
Обратимся к условию унитарности (111,12). В канале рассеяния (t < 0) нет в данном случае физических промежуточных состояний: один свободный электрон не может изменить свой импульс или родить какие-либо другие частицы. Нет их, конечно, и в нефизической области. Поэтому при t < 4m2 правая сторона в равенстве (111,12) отсутствует, так что матрица Tfi (или, что то же, Mfi) эрмитова:
Mfl=M'lf.
') Во избежание недоразумений напомним: в определении (116,6) предполагается, что k-— 4-импульс входящей в вершину фотонной линии; для выходящей линии знак второго члена был бы обратным.
§ П61 ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ ЭЛЕКТРОНА 575
Перестановка начального и конечного состояний означает перестановку р2 и рь а тем самым замену —k. Представив Mfi в виде (116,7), имеем поэтому
(k) = j'tf жТ* (— k).
Но s4-{e) (—k) = s$e)* (k), так что отсюда следует, что матрица, токов перехода тоже эрмитова'
!fi ~ /If ПРИ t < 4m2- (116,8)
Используя свойства матриц у (21,7), легко проверить, что
feY^i) = (йоо^щ) = — (ща^У.
Поэтому j*tf отличается от j;i лишь заменой функций /(0 и g(t) комплексно-сопряженными. Из равенства (116,8) следует тогда, что эти функции вещественны. Таким образом,
Im/(0= lmg(0 = 0, t<4m2. {116,9)
В аннигиляционном же канале (t > 4m2) состояние / — пара, которая может превратиться в пару же с другими импульсами (упругое рассеяние) или в какую-либо более сложную систему. Поэтому правая часть условия унитарности отлична от нуля, матрица Mfi (а с нею и jfi) н.е эрмитова, а потому формфакторы комплексны.
Аналитические свойства функций f(t) и g(t) вполне аналогичны рассмотренным в § 111 свойствам функции t) (хотя это и затруднительно доказать столь же прямым способом). Эти
функции аналитичны в комплексной плоскости t, разрезанной
вдоль положительной вещественной оси t > 4/п2, причем
П0 = /Ю, =
Условие перенормировки (110,19), примененное к вершин-ному оператору (116,6), приводит к требованию
f (0)= 1. (116,10)
Для того чтобы автоматически учесть это условие (при вычислении функции f(t) по ее мнимой части), надо применить дисперсионное соотношение вида (111,8) не к самой функции /(/). а к (/ — 1 )/t. Тогда получим дисперсионное соотношение «с одним вычитанием»:
о--"'- <"6’п>
4 тг
Для формфактора же g(t) никакие значения физическими требованиями заранее не предписываются. Поэтому для него
576 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. XII
дисперсионное соотношение пишется «без вычитаний»;
g(Q=ir jl Д/- <‘16,12)
4 т'
Значение g(0) имеет важный физический смысл: оно дает поправку к магнитному моменту электрона. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим рассеяние нерелятивистского электрона в постоянном, медленно меняющемся в пространстве магнитном поле.
Член в амплитуде рассеяния (116,7), связанный с формфактором g(k2), имеет вид
t>Mf{ =_2^~g (^2) (“геt^ui) kyA^(k). (116,13)
Для чисто магнитного поля Л<е)>*=(0, А); постоянство поля во времени означает, чго 4-вектор А^ = (0, к), а медленному изменению поля в пространстве отвечают малые к (имея в виду дальнейший переход к пределу к->-0, сразу пишем в (116,13) AW вместо эффективного s&(e)). Раскрыв выражение (116,13) и выразив его через трехмерные величины, получим
ЬМц = -^-g(— k2) (?2S«i) i [kAk],
где S — матрица (21,21). Произведение i[kAk] заменяем напряженностью магнитного поля Н^, после чего можно перейти к пределу к->-0. Наконец, введя нерелятивистские спинорные амплитуды wu w2 согласно (23,12):
ы2 — л/2т (а>2 0), и1 =, находим окончательно
6Mfi = ^Ts^ Hk ‘ 2т (wlaw\)- (П6,14)
Сравним это выражение с амплитудой рассеяния в постоянном электрическом поле со скалярным потенциалом Ф^:
Mfl = — e (»2y°«i) Фк » — еФк ¦ 2т (ге;^).
Мы видим, что электрону в магнитном поле можно приписать дополнительную потенциальную энергию
-^Гв(0)аНк.
§ 117) ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА 577
Это значит, что электрон обладает «аномальным» магнитным моментом
l*' = TSr<?<0) (116,16)
(обычные единицы) в дополнение к «нормальному» дираковско-му магнитному моменту eh/2тс.
§ 117. Вычисление формфакторов электрона
Обратимся к фактическому вычислению формфакторов электрона (/. Schwinger, 1949).
В нулевом приближении теории возмущений вершинный оператор Г,1 = у,л> т. е. электронные формфакторы
/=1, g = o.
Первая радиационная поправка к формфакторам определяется вершинной диаграммой
(с двумя реальными электронными концами и одним виртуальным фотонным концом). Мы начнем с вычисления мнимых частей формфакторов. Как было показано в предыдущем параграфе, они отличны от нуля лишь в аннигиляционном канале (кг > 4т2); в соответствии с этим 4-импульсы электронных концов в диаграмме (117,1) отвечают рождающимся электрону и позитрону и обозначены р_ и —р+. Аналитическое выражение диаграммы (117,1):
