Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
В § 117 это обрезание было осуществлено путем введения фиктивной конечной массы виртуального фотона Я,. Поэтому мы должны теперь видоизменить и полученные в § 98 формулы так, чтобы они описывали излучение мягких «фотонов» с ненулевой массой.
?>('> = 3D
(119,19)
§ 120]
ИСПУСКАНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ
591
С формальной точки зрения такой фотон относится к «векторным» частицам со спином 1, свободное поле которых рассматривалось в § 14. Оно описывается 4-векторным ^-оператором
% = V4«^1ш№*е~1кх + Чае$)Ге1кх)> «=1.2,3 (120,1)
ка ^
(здесь изменены обозначения и нормировка по сравнению с (14,16) с целью приведения в соответствие с фотонным случаем).
Взаимодействие «фотонов» (120,1) -с электронами надо описывать лагранжианом того же вида, что и для истинных фотонов:
- еТ% (120,2)
(с заменой операторов потенциала Ац на iJv). Тогда амплитуды процессов испускания фотонов конечной массы будут даваться обычными формулами диаграммной техники, с тем лишь отличием, что
= *А (120,3)
Суммирование же по поляризациям испущенного фотона должно будет производиться по трем независимым поляризациям (двум поперечным и одной продольной) вместо двух у обычного фотона. Это эквивалентно усреднению по матрице плотности неполяризованных частиц
P»v = -3^v--------<120’4>
(ср. (14,15)) с последующим умножением на 3.
Пропагатор «фотонов» с ненулевой массой
Г» 451 ( гт ^
uV-4~ k2 — %2 я2 /
(ср. (76,18)). Однако в силу калибровочной инвариантности амплитуды реальных процессов рассеяния не зависят от продольной части фотонного пропагатора, и это свойство не связано с конкретным видом его поперечной части. Поэтому второй член в скобках фактически выпадает, и остается выражение того же типа, что и для обычных фотонов:
= (120,5)
^которым мы и пользовались в § 117, 119).
Обратимся теперь к изучению мягких (в объясненном в § 98 смысле) фотонов.
692
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
Произведенный в § 98 вывод формул (98,5—6) переносится на рассматриваемый случай с тем лишь изменением, что при раскрытии квадратов (р ± k2) в знаменателях электронных пропагаторов прибавляется член k2 — К2. В результате вместо (98,6) получим
da — davnn • е
>2
(р'е) (ре)
упр I (P'k)-+X2l2 (рк)-Х212
2 d3k 4я2ш
где daynp — сечение того же процесса без излучения мягкого фотона (который называем условно «упругим» процессом). В дальнейшем при интегрированиях по d3k будут существенны значения |к| ~ К. При этом p'k ~ pk ??> X2, так что членами к2 в знаменателях можно пренебречь. Суммирование по поляризациям фотона осуществляется, как указано, с помощью (120,4). После сделанного пренебрежения второй член в (120,4) не дает вклада в сечение, и остается')
da — — dffynp • е
'120'6)
Таким образом, мы возвращаемся к формуле (98,7), в которой, однако, надо понимать теперь ш как
=--Vk2 + A2. (120,7)
Формула (120,6) имеет совершенно общий характер. Она применима как при упругом, так и при неупругом рассеянии и даже при изменении сорта частиц. Результат же дальнейшего интегрирования по d5k зависит от 4-векторов р и р', иными словами, от характера основного процесса рассеяния.
Рассмотрим случай упругого рассеяния, когда
|р| = 1р'1, 6 = 8',
и определим полную вероятность испускания фотонов с частотой, меньшей некоторого сотах; при этом предполагается, что
Ютах > К (120,8)
а сверху значение сотах ограничено условиями применимости теории излучения мягких фотонов (98,9—10).
Вычислим прежде всего интеграл по d3k в нерелятивистском пределе. При |р| = |р'| <S т имеем
/ р'______р Y2 (qk)2 _ q2
\ (p'k) (pk) ) т2ш4 т2ш2
J) На первый взгляд могло бы возникнуть сомнение в допустимости пренебрежения Я2 до усреднения ввиду наличия Я2 в знаменателе второго члена в (120,4). Однако легко непосредственно убедиться в „том, что этот член при усреднении дает вклад -Я-2, которым можно пренебречь.
g 1201 ИСПУСКАНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ 593
Кч = р' — Р). Интегрирование этого выражения по направлениям к дает
4яч2 _______i ^
m2со2 V Зш2 ) '
После этого имеем из (120,6)
ш=шшах
. _ . e2q2 f Г. к2 "I kJd|k|
- а(ТуПр • пт2 ) L з (к2 + Я2) J (кг + Я2)^2 ’
или, произведя интегрирование в предположении (йтах/Х 1,
d(T = d(Tynp.|^-^(ln^f^-|), q2 -С m2. (120,9)
В общем релятивистском случае для вычисления интеграла воспользуемся формулой (131,4). С ее помощью имеем для интеграла по углам
I
'=\imww=\dt\
dok
\(pk)x + (P'k)(l-x)]2 ’
О
или, раскрыв скалярные произведения с р = (г, р), р' = (г, р'),
1
do
1
к [рж + Р' (1 — JC)] }2 •
и
Интеграл do к легко вычисляется в сферических координатах с молярной осью вдоль вектора рл:+р'(1—я), после чего ! 1
4л d.x
/
____ f_____________ 4я dx_________________________f
_ J (ea)2 — [px + p' (1 — л:)]2 k2 — J
[m2 + q2x (1 — *)] k2 + ezA2
Два других интеграла (с (pk)2 и (p'k)2 в знаменателях) получаются отсюда при q = 0. Заметив также, что
рр' = е2 — рр' = m2 -f 1/2q2,
получим
I Ш,
max
m2 + q2/2
я J J Ук2 + А2 I, [tn2 + <\2x (1 — я)] k2 + e2A2
m2k2 + e2A2 J u”ynp
}daynp. (120,10)
594
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
Интегрирование по d|k| сводится к вычислению интегралов вида
