Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
/2 Зя от2
Вычисление интегралов приводит к значению
[*'!| <0>1„. „ - (0 (4 In •?-¦§)= 1.09 (118,10)
,р-к
к
Ей отвечает интеграл
iJf (р) = (— ie)2 ^ Y(р — k) (k)
(2я)« ’
d*k
подставив прЬпагаторы и сведя вместе множители у11 ... Yu с помощью формул (22,6), получим
5 119]
ВЫЧИСЛЕНИЕ МАССОВОГО ОПЕРАТОРА
585
(чертой над буквой Ж мы отмечаем нерегуляризованное значение интеграла). В фотонный пропагатор введена фиктивная «масса фотона» Я с целью устранения (как и в § 117) инфракрасной расходимости.
Преобразуем интеграл с помощью формулы (131,4), понимая в ней под а\ и а2 два множителя в знаменателе (119,2). После простой перегруппировки членов в знаменателе нового интеграла получим
= - W-** S d'k Sdx • (11W)
о
где
а2 = т2х2 — (р2 — tn2) х (1 — х) -j- А2 (1 — я). (119,4)
Замена переменной k->k-{-px приводит подынтегральное выражение в (119,3) к виду, в котором его знаменатель зависит только от &2. При этом, однако, согласно (131,17—18) к интегралу добавится аддитивная постоянная:
= - IsH {S d'k S d* - T1 Ц (49.5)
(член с (yk) в числителе теперь опущен как обращающийся в нуль при интегрировании по направлениям 4-вектора k, — ср. (131,8)).
Регуляризация этого интеграла заключается в таких вычитаниях, которые привели бы его к выражению вида (110,20). Последнее обращается в нуль при умножении на волновую амплитуду и(р), если р — 4-импульс реального электрона. Не вводя и(р) явно, можно сформулировать это условие как требование обращения Ж(р) в нуль при замене
V р—>т, р2—>т2. (119,6)
Форма интеграла (119,5) удобна при этом тем, что 4-вектор р входит в него только в виде ур и р2 (а члены вида kp отсутствуют).
Вычтя из (119,5) такое же выражение с заменой (119,6), по* лучим
586
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
где
al — т2х2 + Я2 (1 — х).
Для окончательной регуляризации, однако, должно быть произведено еще одно вычитание: согласно (110,20) при замене
(119.6) должно обратиться в нуль не только Ж(р) в целом, но и оно же без одного множителя ур— т. Соответствующим вычитанием целиком отбрасываются второй и третий члены в фигурных скобках в (119,7)’). Первый же интеграл предварительно преобразуем, введя еще одно вспомогательное интегрирование с помощью формулы (131,5), положив в ней п = 2 и понимая под а и Ь соответственно к2 — а2 и к2 — а2. Тогда выражение
(119.7) принимает вид
(здесь использовано также тождество р2 — т2 = (ур—т) (ур -|-т)). Сразу же произведем интегрирование по dAk. Предположив, что р2 — т2 < 0, и воспользовавшись (131,14) , получим
Теперь остается, опустив временно множитель (ур — т), вычесть такой же интеграл с заменой (119,6); после простых приведений получим
(в общем знаменателе опущен член с А,2, так как это не приведет здесь к расходимости; в другом месте К2 (1—ж) заменено на №, так как инфракрасной расходимости будет отвечать расходимость при ж->-0).
') Тем самым мы в процессе «перенормировки на ходу» (см. с. 548) опускаем поправки к перенормировочной константе Zi (см. § 110). Соответствующие интегралы логарифмически расходятся. Если ввести «параметр обрезания» Л2 тг, р2, ограничив область интегрирования по d*k условием fe2 ^ Л2, то эту поправку можно вычислить в явном виде. Вычисление приводит к результату
0 0
- (УР + т) [2т — ур (1 — х)] х (1 — х) + \-х)г?
Ну (YP + т) [2т — (ур) (1 — *)] * (1 — х)
т2х2 + Я2 (1 - х) + (т2 - р2)х (.1 - х) z '
о о
т (\—х2)-^(ур+т) (1— *)2^1 — ^
2х (1+ х) z
х2+ (К/т)2;
1
т2х + (от* — -р3*-) (1 -x)z
о
о
(119,8)
§ 119J ВЫЧИСЛЕНИЕ МАССОВОГО ОПЕРАТОРА 587
Интегрирование в (119,8) (сначала по г, затем по х) довольно длинно, но элементарно и приводит к следующему окончательному результату:
Jl М = ШГ (УР - mf (1 - 4^1Г |п р) “
_ ур±т Г 1 / _ Р2_+4р - 4 \ 2 In All
mp I 2 (1 — p) V 1 — p v) m J J
(119,9)
где обозначено
(R. Karplus, N. M. Kroll, 1950). Интеграл вычислен в предположении р > 0, причем р %/т. В соответствии с правилом обхода полюсов, при аналитическом продолжении выражения
(119,9) в область р < 0 фаза логарифма определяется заменой m->m—10; при этом р->р —1‘0, так что In р при р < 0 надо понимать как
In р = In | р | — in, р < 0. (119,10)
Рассмотрим поведение массового оператора при р2 2> т\ Имеем тогда —р « р2/т2 » 1 и с логарифмической точностью:
Ж{р)= — [%~‘ (р) — G~4 (р)] ~ ~ (ур) In Af . (119,11)
Как и в случае фотонного пропагатора (ср. формулы (113,15— 16) для поляризационного оператора), поправка к G~l оказывается малой, только при не слишком большой энергии, именно при;
¦fin-4-«i.
4я пг
В данном случае, однако, логарифмический рост в известном' смысле фиктивен, он может быть устранен надлежащим выбором калибровки, т. е. функции ZJW в фотонном пропагаторе
(Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1954). Именно, для этого надо положить (в обозначениях § ЮЗ)
= 0, (119,12)
между тем как формула (1.19,9) получена в калибровке
DW = D. (119,13)
Это свойство калибровки (119,12) делает ее особенно удобной для исследования характера теории при р2 т2, что и будет
использовано ниже, в § 132.
588
