Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
(125,2)
а
б
или в аналитическом виде:
г«. ш = - {Р- - Р-) + e2VMAv (р- + Р+)‘ (125,3)
Pi Р- Р- /L
-л
г
д
(125,4)
§125] УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИИ 617
Будем рассматривать все величины в системе «центра инерции». Поскольку, однако, 4-импульсы внешних концов диаграмм не предполагаются физическими (т. е. р2Фт2), то хотя в этой системе р+= —р_, но е+ ф е_. Таким образом, 4-импульсы концов
Р_ = (е_, р), Р+ = (е+) — р),
Р')’ Р'+ = К’~ Р')’ <125’5>
е_ + е+ = + е'+.
Энергия связи электрона и позитрона в позитронии ~та2. Поэтому в интересующей нас окрестности полюсов амплитуды рассеяния
I Р I ~ I р' I ~ та < т, (125,6)
| е_ — т | ~ | е+ — т | ~ р2/т ~ та2, ...
Вклад в вершинную часть от диаграммы (125,4, а)
Цфш = ~ iei \ (Я) У% (YvG (q-p_ - р+) у%т X
ХОКр(Ч-р'_)0^(р_-д)-^. (125,7)
В интеграле (125,7) существенна область значений ^=(<70, q), близких к полюсам одновременно обеих функций G. В этой области |q| и |— гп\ малы и электронные пропагаторы
с<«>=- *?-[* - - - i+»]"1 •
= + (125'8>
Полюсы этих двух выражений лежат по разные стороны от вещественной оси в плоскости комплексной переменной q0; замкнув путь интегрирования вдоль этой оси, скажем, в верхней полуплоскости, вычислим интеграл по q0 по вычету относительно соответствующего полюса1). В результате найдем
Г<4а> ~ е4 ^------------—-------------:--
' •(<? — р!)2 (Р_ — qf (2т — е_ — е+ + q2/т)
и отсюда, с учетом (125,6), оценку
Г(^)
(та)3 ____ 1
(та)* та2
‘) Для диаграммы же (125,4, в), отличающейся от (125,5, а) лишь взаимным направлением электронных линий, оба полюса оказались бы лежащими по одну сторону от вещественной оси, так что после сделанных пренебрежений интеграл вообще обратился бы в нуль.
618
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. ХП
Такой же порядок величины имеет и вклад в Г от диаграммы второго порядка (125,2, а) (первый член в (125,3)), чем и доказывается сделанное выше утверждение о порядке малости диаграммы (125,4, а). Аналогичная ситуация имеет место и во всех дальнейших приближениях теории возмущений.
Таким образом, вычисление интересующей нас вершинной части вблизи ее полюсов требует суммирования бесконечной последовательности «аномально больших» диаграмм с промежуточными состояниями типа внутренних линий диаграммы (125,4,а). Для этих диаграмм характерно, что они могут быть рассечены между концами р_, — р+ и р'_, —р'+ на части, соединяющиеся друг с другом лишь двумя электронными линиями1). Совокупность же всех диаграмм, не удовлетворяющих этому условию, назовем «компактной» вершинной частью и обозначим посредством Г»*, поскольку аномально большие диаграммы в нее не входят, эти величины можно вычислять по обычной теории возмущений. Так, в первом приближении Г определяется обеими диаграммами второго порядка (125,2), а во втором — восемью диаграммами четвертого порядка (все диаграммы, за исключением (125,4, а, б)).
Классифицируя некомпактные вершинные части по числу содержащихся в них «двойных связей», можно представить полную Г в виде бесконечного ряда:
(125,9)
где все внутренние сплошные жирные линии — точные пропа-гаторы $ (ряд такого вида часто называют лестничным). Чтобы просуммировать этот ряд, «умножим» его слева еще на одну Г2):
!) Такое определение включает в себя все аномально большие диаграммы, но наряду с ними также и некоторые «нормальные», например диаграмму (125,4,6).
2) Т. е. умножаем все члены ряда на Г и две & и производим соответствующее интегрирование по 4-импульсам новых внутренних связей.
§ 1-25]
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
619
Сравнив теперь этот ряд с доходным рядом (125,9), мы увидим, что
Р\ I Л А' Л /»-' Л
= X - X (125ло)
л ЯР+Р- -Р+ -Р+ -р+ -р, -Р+
Это графическое равенство эквивалентно следующему интегральному уравнению;
iTtk,lm(P'-’ -Р + ; Р-. ~ P'+) = ^ik,tm(P~> -P + i Р_, ~Р + ) +
+ J r,v, «т 0-> ч-р+- p'j. q, - p'+) $st (q) $nr (q ~ p+ - p'~) X ХГtk<in(q, -P+; p_, q-p'+-pi)-^r- (125,11)
Функции Г и ? вычисляются по теории возмущений, после чего уравнение (125,11) дает, в принципе, возможность вычислить Г с любой требуемой точностью.
Для определения же уровней энергии достаточно знать лишь положение полюсов функции Г. Вблизи полюсов Г » Г, так что первым членом правой стороны (125,11) (вторая диаграмма справа в (125,10)) можно пренебречь, и уравнение становится однородным относительно Г. В этом уравнении переменные р+, р~, а также и индексы k, I становятся параметрами, зависимость от которых остается произвольной (не определяется самим уравнением). Опустив эти параметры (а вместе с ними и штрихи у остающихся переменных р'+, р'_), получим уравнение
*г-p+)=$?(r,em(p_. q-p+-p-,q, -P+)$st(q)X
X$nr (q-p+-p_)Tt<n{q; q-p+-p_)-~^ (125,12)
(E, E. Salpeter, H. A. Bethe, 1951).
Записанное в системе центра инерции (p+-f-p- = 0), уравнение (125,12) имеет решения лишь при определенных значениях е+ + е_, которые и дают уровни энергии позитрония. Функция Г/, т играет при этом лишь вспомогательную роль. Вместо нее удобнее ввести другую функцию:
XsriPu P2) = $st{Pl)Tt,n(Pl’> P2)$nr(P2)- (125,13)
