Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Тогда уравнение (125,12) примет вид
I [S-1 (р_) % (р_, - р+) (- Р+)].т =
: \ г1г,*т{р-’ q-Р+- р_; я, -P+)%sr(q, q-p+- р~)-^,
(125,14)
620 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. XII
в котором Г выступает как ядро интегрального оператора. Как уже упоминалось, Г может вычисляться по теории возмущений; то же самое относится, конечно, и к функции §~1.
Покажем, что в первом (по а) приближении теории возмущений (125,14) сводится, как и следовало ожидать, к нерелятивистскому уравнению Шредингера для позитрония.
В первом нерелятивистском приближении Г определяется одной лишь диаграммой (125,2, а) (диаграмма аннигиляцион-ного типа (125,2,6) обращается в этом приближении в нуль)1). Как и по аналогичному поводу в § 83, фотонный пропагатор удобно выбрать в кулоновой калибровке (76,12—13), причем достаточно оставить в нем лишь компоненту D00. Тогда
Г(>, sm (Р_, Q -Р+- Р-¦ <7. -/>+) = - e2yly°rmD00 (q - р_) =
= - U (q - р_) у%у°гт,
где
U (q) = — 43xe2/q2
— компонента Фурье потенциальной энергии кулонова взаимодействия позитрона и электрона. Уравнение (125,14) принимает вид
-/>+) =
= [с (р_) у0 J t/ (q - р_) X {q, Q ~ Р+ ~ PJ) -(0r • Y°C (- р+)]ш,
(125,15)
где также заменены точные пропагаторы 9 пропагаторами свободных электронов G. Для последних имеем приближенные выражения (ср. (125,8))
G(-p+)«^?(Р+)>
где выделены матричные множители, a g{p) — скалярная функция:
g(p) = [е — т — р2/2т + Ю]-1. (125,16)
При подстановке этих выражений в (125,15) замечаем, что все отличные от нуля матричные элементы
1 + Y° „оvvo 1 — Y° I _ Г Vl+JL
- Jim L 2
У ХУ
’) Напомним, что скорости частиц в позитронии v/c ~ а. В этом смысле разложения по а и по I/с взаимно связаны.
§ 125] УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИИ 621
совпадают с элементами —%1т. Поэтому матричное уравнение
(125,15) эквивалентно уравнению для скалярной функции
г'х(Р_. — Р+) =
= -g(P-)g(P+)\u(4~V-)x(q, q-p+-pj)~^r- (125,17) Введем теперь вместо р+, р_ переменные
Р = (е, р) = Р~ 2Р+ - Р = Р_ + Р+
(4-импульсы относительного движения частиц и позитрония как целого). В системе центра инерции
Р = (Е + 2т, 0),
где полная энергия обозначена Е + 2т, т. е. Е — уровень энергии, отсчитываемый от массы покоя. Выразив через эти переменные, перепишем (125,17) в виде
г’Х [р, Р) =
= -g(p + 4)g(-^ + T)St/(?>-P-)x(?-T- /5)w=
= -g(p + -f)?(-^ + -y)$ W-p)x(?', P)j^?-’
P входит в это уравнение уже только как параметр, а функция X входит в правую сторону равенства только в виде интеграла
ОО
¦ф (q) = 5 X (<7, Р) dq0.
— ОО
Проинтегрировав обе стороны равенства по ds, получим из него замкнутое уравнение для if:
ОО
1)(Р> = -!НГ J я(р + тМ-Р+т)Л$^-рЖФ(§?. “00
где
e(±, + i)_[±. + 4-?.Hof.
Замкнув путь интегрирования по ds, скажем, в верхней полуплоскости комплексного е, вычислим интеграл по вычету в соответствующем полюсе и окончательно получим
(-? - Е) i|> (р) + J U (р - q) “ф (q) - jgr = 0. (125,18)
622
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
Это и есть уравнение Шредингера для позитрония в импульсном представлении (см. III (130,4)).
Если бы мы ограничились для Г диаграммами (125,2), но учли бы в них (а также и в 9) следующие члены разложения по 1/с, мы получили бы уравнение Брейта (см. § 83). Учет же диаграмм из (125,4) (вместе с дальнейшими членами разложения по 1/с) дает радиационные поправки к уровням позитрония; однако вычисления становятся очень сложными.
Приведем вычисленную с этими поправками разность основных уровней орто- и парапозитрония1):
?fS.) - ?(%> = o'{-?_ (f + In 2)-i - f }. (,25,19)
Первый член в фигурных скобках — тонкое расщепление (см. задачу 2, § 84). Второй член — радиационная поправка к разности уровней. Мнимая же часть разности связана с вероятностью аннигиляции парапозитрония (см. ('89,4)), т. е. с комплексностью уровня lSо; для парапозитрония ширина уровня оказывается того же порядка величины, что и радиационная поправка к его вещественной части.
§ 126. Двойное дисперсионное соотношение
Следующим по сложности за вершинной частью с тремя внешними линиями является блок с четырьмя концами. В квантовой электродинамике возможны три такие простейшие диаграммы:
(126,1)
Первая из них описывает рассеяние фотона на фотоне. Остальные представляют собой отдельные члены радиационных поправок— к рассеянию фотона на электроне (диаграмма б)) и к рассеянию электрона на электроне (диаграмма в)).
Этот параграф посвящен изучению некоторых общих свойств диаграмм такого рода. Но для упрощения и конкретности мы будем вести изложение применительно к определенной диаграмме— (126,1,а).
*) Karplus R., Klein /l.//Phys, Rev,— 1952. — Vol. 87,— P, 848,
§ 126]
ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
623
Импульсы линий такой диаграммы обозначим следующим образом:
кгк,+к2-к3
(126,2)
4-импульсы k\, k2, k%, ki отвечают реальным фотонам, так что их квадраты равны нулю.
Отделив зависимость от поляризаций фотонов, амплитуду Mfi, соответствующую диаграмме (126,2), можно выразить через несколько скалярных функций 4-импульсов фотонов. Это — инвариантные амплитуды, о которых шла речь в § 70; конкретное выделение их для рассеяния фотона на фотоне будет произведено в следующем параграфе. Будучи скалярными, они зависят лишь от скалярных же переменных, в качестве которых можно выбрать, например, любые две из величин
