Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Переход от s-канала (которому отвечает направление стрелок на диаграммах (127,1)) к ^-каналу осуществляется перестановкой 4-импульсов и —k3 (заменой переменных s *-*t) и перестановкой индексов спиральностей К2 — Я3. Аналогичным
§ 127|
РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ
633
образом, переход от s- к и-каналу осуществляется перестановкой &2 и —&4 (причем s ч—>• и) и заменой — Я4. Это приво-
дит к соотношениям
Al+_ + _(s, t, и) = М+ + + +(и, t, s),
M+__+(s. t, u) = M+ + + +(t, s, u), (127,14)
¦^+ + + +(s. u) — M + + + + (s, u, t),
AI-н— и Л4+++_ полностью симметричны по переменным s, t, и !). Поэтому достаточно вычислить лишь 3 из 16 амплитуд, например
М+ + ++, М+ +—, М+ ++_.
Соотношения (127,10—12), (127,14) относятся к полным
амплитудам — суммам вкладов всех трех диаграмм (127,1). Но сами эти вклады связаны между собой соотношениями, очевидными из сравнения диаграмм. Так, диаграмма б) получается из
а) заменой — kv е2<-+е\, и потому их вклады в инвариант-
ные амплитуды получаются друг из друга заменой переменных s<-»-и и индексов Я2-<^»- — Я4; аналогично вклад диаграммы
е) получится из а) заменой t<-+u, Я3 «г-»-— Д,4.
Вычисление амплитуд
Интеграл Mfi, отвечающий диаграмме (127,1, а), имеет вид
(126,4), причем
В(а) = -^г SP {(Y<?i) (yq — yk2 + m) (ye2) (yq + m) X
X (Y<) {yq — yk4+m) (ye*3) (yq — ук{ —у k2 + m)}. (127,15)
Интегралы (126,4) логарифмически расходятся. В соответствии с условием (127,6) их регуляризация осуществляется вычитанием значения при k\ = k2 = ... = 02). Вычисление регу-ляризованных интегралов, однако, чрезвычайно громоздко.
Наиболее естественный путь для вычисления амплитуд рассеяния фотона на фотоне основан на использовании двойного
*) Здесь учтена также симметрия по отношению к паре конечных фотонов. Поскольку три переменные s, t, и не независимы, достаточно было бы писать два аргумента (например, два первых); мы сохраняем все три лишь с целью более ясного выявления симметрии их перестановок.
2) Отметим, что при суммировании вкладов всех диаграмм расходящиеся части интегралов сокращаются. В этом легко убедиться, заметив, что асим-
634
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
дисперсионного соотношения (В. De Tollis, 1964). Этот метод наиболее полно учитывает симметрию диаграмм и почти полностью исключает трудности интегрирования.
Функция A[aJ (s, t) (и аналогично Л if) для каждого заданного набора спиральностей Яь Яг, Яз, Я4 вычисляется согласно
(126,6). Ввиду наличия под интегралом двух S-функций нам нужно знать значение $(а) лишь при
/j = <72 = m2, l\ = (q — k{ — k2y = m°; (127,16)
эти равенства можно учитывать уже при вычислении следа ;(127,15). Но для дальнейшей подстановки в (126,22) нам фактически требуется значение ЛЙ* лишь при t = 0. (Это равенство означает, что к = к' и k2 = kA.) Тогда интеграл (126,6) принимает вид
Л& (S. 0) = - 4 д/S (127,17)
"(ср. вывод (115,10)). Введя угол между q и к, получим (q — k2)2 — tn2^ — 2(о (1 — I q | cos O) = — Vs [l — у Vs ~ 4m2 cos ft j.
Интегралы (127,17) фактически выражаются через элементарные функции. Вычисление же функции A$\s, t) согласно ее определению (126,18) вообще не требует интегрирования, при этом выражение для Вдолжно быть взято для значений q из
(126,15), удовлетворяющих, помимо (127,16), также и условиям ¦(<7 — k2)2 = m2, (q — ki)2 = m2.
После вычисления функций Ли, А\и Л2 дисперсионное соотношение (126,22) дает амплитуду непосредственно в виде одно-и двукратных определенных интегралов. Приведем окончательный результат для трех инвариантных амплитуд, достаточных,
птотический (при q -*• 00) вид интеграла есть
M&vp 00 \ SP {Y* (Y<7) Yu (Y<7) Y p W Yv (Y<7)}
После усреднения по направлениям q (ср. (131,10)) след легко вычисляется и дает
Mjvp 00 (S’JljxS'vp ^ \q2)2 "
Суммирование по диаграммам означает симметризацию этого выражения по индексам fi, v, р, в результате чего оно обращается в нуль. Подчеркнем, однако, что это сокращение имеет в известном смысле случайный характер и не устраняет необходимости регуляризации, хотя она и сводится при этом к вычитанию конечной величины.
§ 1271 РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ 635
согласно сказанному выше, для определения также и всех ос* тальных амплитуд !):
^М„** = -1-(2 + !-)в<0-(2+^)в<«)-_[2(|- + «=) _ lj|r(f) + r()l)| + ^, ,) +
+ ±(, -f)„s, я) ^ *2!^ _Jt_
= 1 + 4( j + | + -j) [Г(5) + Г (0 + Т («)] - (127’18)
-4(ir+|-)/(s.'»-4(7 + i)/<s. “>-4(-?+^г)'<*,«).
— = l-i/(s, ()-i/(s, U)~^l{t, и).
Здесь обозначено:
В (s) = д/ 1 — у Arsh s- — 1, s < О,
Т (s) = Г Arsh » s<0,
! (127,19)
I{s, 0 = 4 S----~У s + t {'п[1—/0 — ^(1—^)] +
о «/ (1 — г/) —
St
+ In [1 — /0 — ty(l — г/)]},
выражения же в областях 0 < s < 4 и s > 4 получаются из
(127,19) путем аналитического продолжения по правилу s -*¦ s -f- ДО, т. е. через верхнюю полуплоскость этих переменных. (Для упрощения записи в формулах (127,18—19), и только в них, буквы s и t обозначают отношения s/m2, tjm2.)
Сечение рассеяния
Предельному случаю малых частот (со <С т) отвечают малые значения переменных s, t, и. Первые члены разложения инвариантных амплитуд по этим переменным:
