Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Ландау Л.Д. -> "Теоретическая физика" -> 212

Теоретическая физика - Ландау Л.Д.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие — М.: Наука, 1989. — 728 c.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayafizika1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 206 207 208 209 210 211 < 212 > 213 214 215 216 217 218 .. 244 >> Следующая

s = (ki + k2)2, t = (kl — k3)2, u = (kl — kif, s + t + u— 0; (126,3)
ниже мы выбираем в качестве независимых s и (.
Каждую из инвариантных амплитуд (которые мы обозначим здесь той же буквой М) можно представить интегралом вида
М =Л__________________________________________________________
J \q2 — т21 [(<7 — /г„)2 — т2] [(<7 — 6, — k2)2 — т2\ [(q — k2)2 — т2] ’
т2-+т.2 — Ю, (126,4)
где В — некоторая функция всех 4-импульсов; множители в знаменателе происходят от пропагаторов четырех виртуальных электронов.
При достаточно малых s и / амплитуды М вещественны (точнее, могут быть сделаны таковыми надлежащим выбором фазового множителя). Действительно, малость s обеспечивает невозможность рождения фотонами реальных частиц (электрон-позитронной пары) в s-канале, а малость t — такую же невозможность в /-канале1). Другими словами, в обоих каналах от-
•) Изображенные на диаграмме (126,2) направления внешних линий отвечают s-каналу. В /-канале входящими должны быть линии 1 и 3, так что 4-импульсами начальных фотонов были бы kx и —ks. Физические области для рассеяния фотона на фотоне в переменных s, t, и — заштрихованные секторы на рис. 8 (с. 300). Так, s-каналу отвечает область, в которой s > 0, / < 0, и < 0.
624
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. Х1Г
сутствуют реальные промежуточные состояния, которые могли бы, согласно условию унитарности, привести к появлению мнимой части амплитуды.
Будем теперь увеличивать s при фиксированном (малом) значении t. При s ^ Ат2 у амплитуды М появится мнимая часть, связанная с возможностью рождения пары двумя фотонами в s-канале. Поэтому для М можно написать дисперсионное соотношение «по переменной s»:
М (s, t) =
— \ % ds',
л j s — s — 10 *
4т2
(126,5)
где /4is(s, t) обозначает мнимую часть M(s, t). Как и для всякой диаграммы вида
'/4is(s, t) вычисляется по правилу (115,9) заменой в интеграле
(126,4) соответствующих полюсных множителей 6-функциями:
*"u*. о - ««о* j ‘7:’-^-"2б’б>
причем интегрирование производится по половине ^-пространства, в которой q° > 0.
Мы можем сделать существенный дальнейший шаг, заметив, что интеграл (126,6) имеет структуру (в смысле своих полюсных множителей) того же типа, что и амплитуда реакции, изображающейся диаграммой вида
Поэтому и аналитические свойства /4is(s, /) как функции от t подобны аналитическим свойствам этой амплитуды. В частности, у функции /4is(s, t) может появиться (при увеличении t) мнимая часть только тогда, когда оба множителя в знаменателе будут одновременно обращаться в нуль. Это, однако, не произойдет сразу же после достижения значения i — Ат2 — порога рождения пары в ^-канале. Дело в том, что наличие 6-функций в
§ 126]
ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
625
подынтегральном выражении ограничивает область интегрирования в ^-пространстве, которая может оказаться несовместимой со значением t = Ат2. Протяженность области интегрирования зависит от значения s (аргументы S-функций содержат k\ и k2). Поэтому зависит от s и граничное значение t = tc(s), за которым функция /4is(s, t) становится комплексной.
Подобно тому как функция M(s,t) выражается через свою мнимую часть ЛцЛ^М) формулой (126,5), функция Ли(«, i) в свою очередь выражается через /l2(s, t) = Im/lls(s, t) дисперсионным соотношением «по переменной t»:
оо
tc(s)
Подставив теперь (126,7) в (126,5), получим двойное дисперсионное соотношение, или представление Мандельстама для амплитуды M(s, t):
оо со
Jr 5 \ <126>8)
4m3 tc{s')
(S. Mandelstam, 1958).
Функцию A2(s,t) называют двойной спектральной плотностью функции M(s,t). Ее можно получить из интеграла
(126,6) повторным применением к нему правила замены (115,9). Обозначив для краткости
/,=<7, l2 = q — k4, /3 = <7 — k2, h = q — kx — k2, (126,9)
получим (2if А2 (s, () =
-- (2яг)4 J *В6 (I2 - m2) 6 (12 - m2) 6 (I2 - m2) 6 (/2 - m2) d4q, (126,10)
причем интегрирование производится по области <7° > 0.
Следует, однако, иметь в виду, что формула (126,10) имеет лишь символический смысл. Дело в том, что область s > 0, t > 0 — нефизическая. Соответственно в этой области величины 1\, 12, ... при вещественных q оказываются, вообще говоря, комплексными; понятие же S-функции при комплексных значениях аргумента не является полностью определенным. Точнее было бы говорить прямо о взятии вычетов в соответствующих полюсах исходного интеграла (126,4). В нашем случае это, однако, не играет роли. Условие обращения в нуль четырех знаменателей в (126,4) или четырех аргументов 6-функций полностью определяет компоненты 4-вектора q. Переходя к интег-
626 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. XII)
рированию по 1\, 1\, ... (см. ниже) и формально оперируя с
интегралом (126,10) по обычным правилам, мы найдем (с точностью до знака) выражение для Л2.
Для дальнейших вычислений выберем систему центра инерции (в s-канале). Тогда
6i = (co, k), k2 — (со, — к), k3 = (<x>, к'), й4 = (со, — к0, (126,11)
s 4со2, t = - (к — к')2 = - 4со2 sin2 (0/2),
и = — (к + к')2 = — 4со2 cos2 (0/2), (126>12)
где 0 —угол между кик' (угол рассеяния). Ось х пространственных декартовых координат направим по вектору k -f- к', а ось у — по к — к'1).
Предыдущая << 1 .. 206 207 208 209 210 211 < 212 > 213 214 215 216 217 218 .. 244 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed