Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициент в (128,1) нельзя вычислить с помощью функции Лагранжа однородного электромагнитного поля (как это можно было сделать для рассеяния света на свете). Причина заключается в том, что в данном процессе существенны расстояния от ядра г ~ 1/т, на которых поле ядра нельзя рассматривать как однородное.
Приведем результат точного расчета:
da++ = do__ = 1,004 • 10"3 (Za)4r\ (-?)* cos41 do,
/ 44 о (128,2)
do+_ = da_+ = 3,81 • 10-4(Za)4re2(-^-) sin4}do.
‘) Cm. Costantini V., De Tollis B„ Pistoni G.//Nuovo Cimento. — 1971. — Vol. 2A. — P. 733; De Tollis B., Lusignoli М., Pistoni G.//Nuovo Cimento. — 1976, —Vol, 32А, —P, 227.
§ 1281
КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ ФОТОНА В ПОЛЕ ЯДРА
639
Индексы «+» и «—» обозначают здесь (как и в § 127) спираль-ности +1 или —1 конечного или начального фотонов; 0 — угол рассеяния в системе покоя ядра (V. Costantini, В. de Tollis, G. Pistoni, 1971).
Для оценки сечения при высоких частотах воспользуемся оптической теоремой (см. § 71). Промежуточное состояние, фигурирующее в правой стороне соотношения унитарности, является в данном случае состоянием электрон-позитронной пары (ему отвечает рассечение диаграмм по двум внутренним электронным линиям между фотонными концами). Поэтому оптическая теорема связывает амплитуду упругого рассеяния фотона на нулевой угол с полным сечением образования пары фотоном в поле ядра стПар. Определив амплитуду /(со, 0) рассеяния на угол 0 так, чтобы сечение рассеяния было da =\f\2do (ср. (71,5)), будем иметь
1т/(со, 0) = -^сгпар.
Сечение апар отлично от нуля, разумеется, лишь при ю > 2т. В ультрарелятивистском случае, взяв апар из (94,6), получим
Г И ^ Im f (СО, 0)=^ (Za)2 /•,-?¦ [in ^ - if-], со » m. (128,3)
Вещественная часть амплитуды рассеяния определяется по мнимой части дисперсионным соотношением. Это соотношение должно быть написано «с одним вычитанием», т. е. его надо писать для функции f/t (где t = со2), поскольку при со—>-0 амплитуда f со со2 (ср. с соотношением «с двумя вычитаниями»
(111,13)). Выделяя вещественную часть дисперсионного интеграла (для чего достаточно понимать интеграл в смысле главного значения) и перейдя от интегрирования по t'= со'2 к интегрированию по со', имеем
со
г (со) =а Re f (со, 0) = ~~~ Р \ -ТНГ";'- • (128,4)
п J со (со — со2)
2т ’
При со>/?1 в интеграле существенны значения со' ~ со ^ т, так что для f"(со') можно использовать выражение (128,3); при этом нижний предел интеграла можно заменить нулем. Главное значение интеграла можно представить как полусумму интегра* лов по путям, проходящим по верхнему и нижнему берегам правой вещественной оси в плоскости комплексной переменной со'; в свою очередь, эти пути можно затем повернуть в плоскости со' до совпадения соответственно с верхней и нижней мнимыми
640
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XIII
полуосями. В результате /'(ю) представится в виде
оо оо
оо
оо
о
о
и окончательно
Re/(со, 0) = -Jq (Za)2 г е^~
(128,5)
Обратим внимание на то, что вещественная часть амплитуды, в отличие от мнимой части, не содержит большого логарифма.
Сумма квадратов выражений (128,3) и (128,5) дает сечение рассеяния на нулевой угол:
\F. Rohrlich, R. L. Gluckstern, 1952).
Полученный для рассеяния строго вперед результат (128,6) пригоден и в некоторой области малых углов. Можно показать, что условие его применимости 0 <С (т/ю)2. Эта область, однако, вносит лишь малый вклад в полное сечение рассеяния. Основной же вклад в полное сечение дает область углов 0 ,<; /n/ю; это легко понять на основании общего (не на нулевой угол) соотношения унитарности, связывающего друг с другом амплитуды рассеяния фотона и образования пар фотоном. В этой области, однако, логарифмический член отсутствует, так что полное сечение рассеяния
(Н. А. Bethe, F. Rohrlich, 1952). Таким образом, при больших <о сечение когерентного рассеяния стремится к постоянному пределу.
§ 129. Радиационные поправки к уравнениям электромагнитного поля
При квантовании электрон-позитронного поля (см. § 25) мы видели, что в выражении для энергии вакуума появляется бесконечная постоянная, которую можно записать в виде1)
ра
где — — отрицательные частоты решений уравнения Ди-
рака. Сама по себе эта постоянная не имеет физического смыс-
;е=0 Slrt2
49
(128,7)
(129,1)
*) Пишем здесь & вместо Е во избежание путаницы с напряженностью электрического поля.
% 129] ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 641
ла, так как энергия вакуума равна нулю по определению. С другой стороны, при наличии электромагнитного поля уровни энергии будут меняться. Эти изменения конечны и имеют определенный физический смысл. Они описывают зависимость свойств пространства от поля и меняют уравнения электромагнитного поля в вакууме.
Изменение уравнений поля выражается в изменении его функции Лагранжа. Плотность L функции Лагранжа является релятивистским инвариантом и потому может быть функцией лншь от инвариантов Е2— Н2 и ЕН. Обычное выражение
есть первый член разложения общего выражения по степеням инвариантов.
Мы найдем функцию Лагранжа в случае, когда поля Е и Н настолько медленно меняются в пространстве и времени, что их можно считать однородными и постоянными; тогда L не содержит производных от полей. На формулировке необходимых для этого условий мы остановимся в конце параграфа.
