Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Однако для того чтобы поставленная задача имела смысл, необходимо еще предполагать электрическое поле достаточно слабым. Дело в том, что однородное электрическое поле может рождать из вакуума пары. Рассмотрение поля самого по себе как замкнутой системы допустимо, лишь если вероятность образования пар достаточно мала. Именно, должно быть
(изменение энергии заряда е на расстоянии hjmc должно быть мало по сравнению с тс2). Мы увидим ниже (см. также задачу 2), что в таком случае вероятность образования пар экспоненциально мала.
Если наряду с электрическим полем имеется также и магнитное, то, вообще говоря, можно выбрать систему отсчета, в которой Е и Н параллельны. Тогда магнитное поле не влияет на движение заряда в направлении Е. Именно в этой системе (выбор которой будет подразумеваться в дальнейших вычислениях) должно выполняться условие (129,3).
Вычисление функции Лагранжа начнем с определения изменения W' энергии вакуума. Величина W' дается изменением за счет поля «нулевой энергии» (129,1). Из этой величины, однако, надо еще вычесть средние значения потенциальной энергии электронов в «состояниях» с отрицательной энергией. Последнее вычитание означает просто, что полный заряд вакуума по определению равен нулю.
L°=ilr<E2-H2)
(129,2)
(129,3)
642 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. XII
Нулевая энергия при наличии поля:
—52 ^=Sr №d3x’ (129>4)
ра ра
где •фра)—отрицательно-частотные решения уравнения Дирака ь данном поле. Будем предполагать, что интегрирование ведется по единичному объему, а волновые функции нормированы на
1 в этом объеме; тогда 1Г0 есть энергия единицы объема. Согласно сказанному выше из 1Г0 надо вычесть величину
Un = ? § 'Фрст 1 * «pVpo * d3x,
ра
где ф = —Ег — потенциал однородного поля. Но согласно теореме о дифференцировании оператора по параметру (см. III (11,16))
Таким образом, окончательно полное изменение плотности энергии вакуума
= («••- Е ж) <129'5>
Свяжем W' с изменением плотности лагранжиана L'(L =*
— L0-\-L'). Для этого воспользуемся общей формулой
w=Y,4W-L’
где q — «обобщенные координаты» поля (см. II, § 32). Для электромагнитного поля роль величин q играют потенциалы А и <р. Поскольку
Е=* —A —Vq>, Н == rot А, (129,6)
то из числа «скоростей» q в L входит лишь А, а дифференцирование по А эквивалентно дифференцированию по Е. Поэтому
W' = e?-L'. (129,7)
Сравнив (129,5) и (129,7), найдем
L' = -[#0-gГ0|Е.Н.0]. (129,8)
Таким образом, вычисление L' сводится к вычислению суммы
(129,1).
Рассмотрим сначала случай, когда имеется лишь магнитное поле. «Отрицательные» уровни энергии электрона (заряд е =
§129] ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ' ПОЛЯ 643
= —|е|) в постоянном однородном поле Нг = Н
-е(-,*-л/т2 + |е|Я(2«-1+а) + ^. (129,9)
п = 0, 1, 2, ...; а = ± 1
(см. задачу к § 32). Для вычисления суммы учтем, что число состояний 6 интервале dpz есть
\е\Н dpz 2л 2л
(см. III, § 112); первый множитель есть число состояний с различными значениями рх, от которых энергия не зависит. Кроме того, все уровни, за исключением лишь уровня с п — 0, а = —Г, двукратно вырождены: совпадают уровни с п, а = +1 и я+Ь а = —1. Поэтому
-<Sro=J(!if \ {л/^ТрТ + 2 X Ajm2+2\e\Hn + pl \dp2.
-ОО V Л*= 1 У
(129,10)
Расходимость интегралов в (129,10) устраняется при вычислении L' (129,8) вычитанием значения суммы при # «= 0. Для проведения этой «перенормировки» удобно вычислить сначала сходящееся выражение
Фав-
(,дтг)2
\j\JL
j |(т2 + Рг) S/2 + 2X! (m* + 2MHn + Pl) Vs|rfP2=* _ и\и ( 1 | 2у 1 )
8я2 т3 ' Lu т2 + 2 | е \ Нп j ‘
Суммирование в фигурных скобках можно свести к суммированию геометрической прогрессии следующим способом:
^ е~т^ J 2 ^ е~21e IЯп” — 11 dr\ =
т L n-0 J
оо
J t 1 е | Hi\ ~ lj^ =*
ОО
J е-тч, cth (I е | Нц) dr\. (129,11)
ф — |е|Я
8 л2
0 *- п— 0
_______\е\Н
8я! о
644
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
Для нахождения L' надо теперь дважды проинтегрировать ф по т2, после чего вычесть значение получающейся величины при Н = 0. Находим
где ci и С2 зависят от Н, но не зависят от тг.
Из соображений размерности и четности по Н очевидно, что
V как функция от Н и m должна иметь вид
Поэтому членов, нечетных по т2, в L' вообще не может быть, так что с2 = 0. Коэффициент же сi определяется из условия, чтобы разложение L' по степеням Н2 начиналось с члена ~//4. Действительно, член ~//2 в V означал бы просто изменение коэффициента в исходном лагранжиане Lo — —Н2/8я. Но это было бы, по существу, изменением определения напряженности поля, а тем самым и заряда. Поэтому устранение членов ~//2 означает перенормировку заряда. Легко проверить, что для этого надо положить
Наконец, произведя еще в (129,12) замену переменной получим окончательно
*/(//; ? = 0) = -g-$ j_nbcth^+l+ir1}e-’1-$-. (129,13)
где b =|е| Н/т2.
Вернемся к общему случаю, когда наряду с магнитным имеется также и параллельное ему электрическое поле Е, удовлетворяющее условию (129,3).
Для вычисления U в этом случае нет, однако, необходимости решать заново задачу об определении уровней энергии е'~' электрона в поле. Достаточно заметить, что если искать волновую функцию — решение уравнения второго порядка
