Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
где символ у означает фотон, а индексы _L и || отвечают двум определенным выше поляризациям1).
Для распадов
Yx-Y± + Y±. Y„ — Y, + Y,
левая сторона неравенства (130,10) обращается в нуль, поскольку функции п, 'пи п2 одинаковы. Для выяснения вопроса
’) Численные расчеты показывают, что неравенство верно не
только при со Си (когда справедливы выражения (130,5—6)), но и при всех со < 2т (порог для рождения пар фотоном).
654
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
в этом случае необходимо учесть зависимость коэффициента преломления от k, появляющуюся по мере увеличения ю. Требуемое неравенство:
&!«(>«, кх) + (k — ki)n(x, k — ki) — kn(y., k) > 0.
Уже из общих соображений можно утверждать, что л(х, &)— возрастающая функция k, и потому это неравенство не может быть выполнено, так что рассматриваемые распады тоже невозможны (действительно, заменив n(k — k\) и n(kj) на n(k), мы заведомо увеличим всю сумму, между тем как после замены она станет лишь равной нулю). Сделанное утверждение относится к любым прозрачным средам и является следствием формулы Крамерса — Кронига для показателя преломления (ср. VIII, § 84). В данном случае внешнее поле представляет собой «прозрачную среду» для фотонов всех частот ю < 2т — вплоть до порога рождения пар, т. е. появления поглощения фотонов.
Таким образом, единственными разрешенными процессами распада оказываются
Уже было отмечено, что импульсы ki и к2 направлены под малыми углами ¦0 к импульсу начального фотона к. Если пренебречь этими углами, т. е. считать импульсы всех фотонов параллельными (будем называть такое приближение коллинеар-ным), то распад (130,12) окажется невозможным, как это видно из следующих рассуждений.
Аналогично (127,4), представим амплитуду распада в виде
где е, ei, ег — 4-векторы поляризации фотонов, определенные, как обычно, по их 4-потенциалам А. Выбрав трехмерную калибровку потенциалов, е=(0, е), перепишем это выражение в виде
Две независимые поляризации определяются ортами1)
Yi-'Yj. + Yj.. Y|-*Y, +Yj_.
(130.11)
(130.12)
ef] II [kb], e± || [k [kb]].
Легко видеть, что в разложении
’) Индексы || и _L соответствуют определенным выше поляризациям. Надо помнить, что орты е определяют направления векторного потенциала А (и тем самым поля Е') и перпендикулярны направлению В'.
§ 130]
РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
655
(индексы к, I:, Х2 пробегают значения .L, ||; ср. (127,9)) векторы ех должны встречаться в каждом члене четное (0 или 2) число раз. Действительно, амплитуда Mfi инвариантна относительно преобразования СР, а поскольку потенциалы А (а с ними и е) CP-инвариантны, то должен быть CP-инвариантен также и тензор Miki. При CP-преобразовании —>¦ е± -> — е± (зарядовое сопряжение меняет знак Ь, а инверсия меняет знак к, оставляя аксиальный вектор b неизменным). Поэтому если в каком-либо члене разложения вектор ех входит один раз, то соответствующий скаляр должен быть CP-нечетен. Но
из единственных двух (в коллинеарном приближении) векторов к = к! = к2 и Ь, которые оба меняют знак при СР-преобразо-вании, нельзя составить CP-нечетного скаляра, чем и доказывается сделанное утверждение.
Таким образом, в коллинеарном приближении распад (130,12) запрещен. Более детальная оценка показывает, что отношение амплитуды этого процесса к амплитуде разрешенного в коллинеарном приближении распада (130,11):
(углы ¦& оцениваются из (130,9) как Ф2 ~ пл — гац).
Тот факт, что из всех распадов оказывается возможным: (в главном приближении) лишь распадки->\± + означает, что в неполяризованном пучке фотонов, распространяющихся в магнитном поле, в конце концов устанавливается перпендикулярная (_L) поляризация.
Перейдем к вычислению амплитуды распада Mfi = M±± ( по теории возмущений, т. е. в предположении В0 -с 5кр.
Первые (по а и по внешнему полю) неисчезающие фейнма-новские диаграммы имеют вид
(со всеми возможными перестановками концов), где три концевые линии отвечают фотонам, а одна — внешнему полю. Но в коллинеарном приближении соответствующая этим диаграммам амплитуда обращается в нуль. Действительно, в силу калибровочной инвариантности внешнее поле может войти в ам-
(130,14)
где
В,
кр
(130,15)
к
656
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
плитуду процесса лишь в виде 4-тензора его напряженностей Fyv, а 4-векторы поляризации фотонов — лишь в антисимметричных комбинациях
с волновыми 4-векторами. Окончательное выражение для амплитуды строится из тензора внешнего поля F^v, тензоров /^, /llxv, /2|xv трех фотонов и их волновых 4-векторов k^, km, /г2ц; при этом оно должно быть линейным по каждому из тензоров f^v, а для диаграмм (130,15) — линейным и по F^. В коллинеарном приближении 4-векторы k\ и k2 сводятся к k: k\ = Acoi/co, k2 — = kaa/u). В этих условиях всякое скалярное произведение, построенное указанным образом, обращается тождественно в нуль: легко сообразить, что такое произведение будет содержать по крайней мере один равный нулю множитель k2 или ke.
Таким образом, в коллинеарном приближении первый отличный от нуля вклад в амплитуду распада возникает лишь, от шестиугольных диаграмм вида
