Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
с тремя линиями внешнего поля '). Отвечающая таким диаграммам амплитуда строится уже с тремя множителями FТакие скалярные произведения могут быть отличны от нуля. Но все отличные от нуля произведения содержат волновые векторы фотонов только через посредство тензоров легко сообразить, что добавление еще и других множителей k приведет к появлению в произведении равных нулю множителей k2 или ke. Но компоненты тензора совпадают с компонентами напряженностей Е' и В' поля фотона. Это значит, что если амплитуду распада, отвечающую диаграммам (130,16), представить как матричный элемент некоторого оператора, то этот оператор, будучи выражен через операторы напряженностей полей фотонов, не зависит от их частот. В свою очередь, отсюда следует, что вычисление амплитуды распада (отвечающей диаграмме
(130,16)) с помощью лагранжиана (129,17) даст правильный ответ, не ограниченный условием со <С т.
В конце § 127 было объяснено, каким образом гамильтониан взаимодействия получается из найденной в § 129 лагранжевой
') Поправки же, связанные с учетом неколлинеарности в диаграммах (130,5), дали бы в амплитуде вклад следующего порядка по а по сравнению с вкладом от диаграмм (130,16).
(130,16)
§ 130]
РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
657
функции L. Теперь речь идет о процессе с участием трех фотонов, и соответствующий оператор взаимодействия получается из членов разложения L, содержащих тройные произведения полей фотонов Е', В'. При этом надо рассматривать только член вида
(В'В0)(Е'В0)2, (130,17)
в который каждый из векторов В' и Е' входит умноженным скалярно на Во. Действительно, произведения Е'2, В'2, Е'В' происходят, в четырехмерной записи, от скаляров вида ко-
торые в коллинеарном приближении тождественно обращаются в нуль. Тот факт, что выбран член именно с одним множителем В' и двумя Е', связан с тем, что рассматривается процесс с одним ||-фотоном и двумя _[_-фотонами; у первого составляющую вдоль Во имеет поле В', а у последних — поле Е'.
Функция Лагранжа L выражается через инварианты — = (В2—Е)2/2 и 'З =ЕВ Нужный нам член разложения получается из члена oo^'g'2. Вычисление с помощью (129,17) дает для последнего выражение
_____I3g9 <г*®2
630л г/п8 9 у '
Положив В = В0 -f В', Е = Е' и взяв из $Г слагаемое ВцВ', а из % — слагаемое В0Е', получим искомый член разложения вида (130,17). Таким образом, оператор трехфотонного взаимодействия, приводящего к распаду \i| Yu +Y2i> Дается выражением
^<3>= ЗТВ» \ (ВоЁ;)(ВоЁ2)(ВоВ'К*’ (130,18)
где ___
В/ = г д/4л [key] е{<kr-№<)Скь
Ei = — i'sjco1ex(?~;fk,I"~Bl<,Ckjx
и аналогично для Ё'; ср. (127,26—27)').
Согласно изложенным в § 64 правилам амплитуда распада Mft вычисляется по определению
Sfi = - i(f IJ Vmdt | i) = i (2ji)46<4) (6 - 6, - k2) M
и равна
j* • lee4 ,, 43/2 n3 • ч n
Mf, = — I 315-г” 8- (4я) c0C0iC02B0 sm3 0
’) Удвоение коэффициента в (130,18)— за счет того, что Е( и Е2 мигут быть взяты из каждого из двух множителей Е' в L.
€58 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [ГЛ. XII
(0 — угол между к и В0). Вероятность распада в единицу времени (см. (64,11)):
dw = (2л)4 6 (к — кх — к2) б (0 — 01 — а2) | Мц ° d kld
2 • 2ш • 2ш1 • 2щ • (2л)в
(лишний множитель 1/г учитывает уменьшение фазового объема за счет тождественности двух конечных фотонов). Первая б-функция устраняется интегрированием по d3k2. Для устранения второй б-функции замечаем, что при пренебрежении дисперсией:
ь ь,
0 — й! — Gb = k — k\ — |k — к])** — k _ k (1 — cos Ф,)
и потому *)
<0 1
^ ^ 00j026 (и — — (o2) d cos • 2л0^0[ —
-о о
OJ
=2я ^ affa — a^da^jLa5.
Окончательно находим для полной вероятности распада фотона в единицу времени (обычные единицы):
а3 / 13 у тс2 / Йш у / В0 sin 9 У 'W~ 15ix2 V'3T5 У ~~К~\~тсТ) V В^ ) ~
тс2 ( Bgsin20'\3/’ h \9 ( Йа \5
= "**-r(-SSrJl«)b)-
Как уже упоминалось, применимость этой формулы не требует условия w -С т. Она ограничена лишь условием малости членов, отвечающих диаграммам восьмого порядка. Для оценки заметим, что в матричном элементе восьмого порядка может иметься, например, член, отличающийся от членов шестого порядка безразмерным инвариантным множителем вида (eF^kv/m3)2. Условие его малости приводит к весьма слабому условию
0<Cm ('т2/| е\ В0).
') При этом подразумевается, что при учете дисперсии аргумент 6-функ-щии действительно обращался бы в нуль при некотором cosfriCl. Таким образом, дисперсия требуемого характера необходима для того, чтобы распад был возможным, но сама вероятность распада от дисперсии (если она •мала) не зависит.
§ 131] ИНТЕГРАЛЫ ПО ЧЕТЫРЕХМЕРНЫМ ОБЛАСТЯМ 659
§ 131. Вычисление интегралов по четырехмерным областям
Сведем здесь некоторые правила и формулы, полезные для вычисления интегралов, возникающих в теории радиационных поправок. Типичная формула интеграла, отвечающего диаграмме Фейнмана:
\ l-(k)d*k , (131,1)
J а|02 ... ап
где аь а2, ... — полиномы второй степени по 4-вектору k, f(k).— полином какой-либо степени п', а интегрирование производится по всему четырехмерному ^-пространству.
Удобный метод вычисления таких интегралов (принадлежащий Фейнману, 1949) основан на предварительном преобразовании (параметризации) подынтегрального выражения путем введения дополнительных интегрирований по вспомогательным переменным gi, g2, • • • согласно формуле
