Теоретическая физика - Ландау Л.Д.
ISBN 5-02-014422-3
Скачать (прямая ссылка):
Тогда уравнения (129,25—27) примут вид
div В = 0, rot Е = - дВ
д t ’
div D = 0, rotH=4?--
ot
(130,1)
Рассмотрим распространение фотона в постоянном однородном магнитном поле В0. Обозначив величины, относящиеся к слабому полю электромагнитной волны, буквами со штрихом, будем иметь для них уравнения
[kH']= - ©D', [кЕ'] = е>В',
кВ'-О, kD = 0, (1ад
причем
А- = = ^ik^k’ (130,3)
тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости вакуума являются функциями внешнего поля В0. Предполагая это поле слабым в смысле |е|В0/«2<С 1» найдем из лагранжевой функции (129,21):
eik = bik + "45m4 ^0 ( — 6/* + J bib Л ,
2” s (130,4)
Pi* — &ik + 45m4 (6ik 4- 2btbk),
где b = Bo/Bo-
Напомним, что частота фотона предполагается малой: ш <С т (условие (129,29)). Отметим, однако, что характер структуры тензоров &ik и |Xi* не связан с этим предположением, а является следствием уже инвариантности квантовой электродинамики относительно пространственной инверсии и зарядового сопряжения. Так, первая запрещает появление в D' членов вида const-В' и const-В0(В0В') (инверсия меняет знак Е и D при неизменных Ни В), а вторая запрещает появление в е,* и \цк антисимметричных и нечетных по В0 членов вида eikiB0i (зарядовое сопряжение меняет одновременно знак всех полей).
Ввиду наличия в рассматриваемой задаче избранной плоскости — плоскости, проходящей через к и Ь, — в качестве двух независимых поляризаций фотона естественно выбрать линейные поляризации в этой плоскости и перпендикулярно ей. Будем отмечать индексами _1_ и || поляризации, при которых вектор В' соответственно перпендикулярен плоскости k, b или лежит в ней.
652
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[ГЛ. XII
В случае перпендикулярной поляризации вместе с вектором В' перпендикулярен плоскости k, b также и вектор Н':
»'-(>+ н'
Векторы же Е' и D' лежат в плоскости к, Ь. В этом случае из уравнений (130,2) получаем закон дисперсии фотонов в виде k = с «показателем преломления» (обычные единицы)
П1=1 + 9»-B°sin20> (130-5)
где 0 — угол между к и В0 ’).
Во втором случае векторы В' и Н' лежат в плоскости к, Ь, а векторы Е' и D' перпендикулярныей. Для показателя преломления получается
П!=1+4i^Bosin20' (130>6)
Отметим, что nL^nr Знак равенства достигается при 0 = 0, когда л = ftj = 1.
Наиболее интересным проявлением нелинейности уравнений Максвелла с учетом радиационных поправок является расщепление фотона на два фотона во внешнем магнитном поле (S. L. Adler, J. N. Bahcall, С. G. Callan, М. N. Rosenbluth, 1970).
В постоянном и однородном поле этот процесс идет с сохранением энергии и импульса2). При распаде фотона к на фотоны к] и к2 имеем
Ш(к) = ш(к1) + ш(к2), к, + к2 = к. (130,7)
Для фотонов в вакууме в отсутствие внешних полей со = k и равенства (130,7) могут выполняться лишь для трех фотонов, движущихся в одном направлении; Но и в таком случае распад строго запрещен инвариантностью относительно зарядового сопряжения— в силу теоремы Фарри (см. § 79) сумма диаграмм с тремя фотонными внешними концами обращается в нуль.
Наличие внешнего поля делает распад фотона возможным (он изображается диаграммами с тремя фотонными концами и одной или более линиями внешнего поля). Но эта возможность оказывается связанной с характером поляризации фотонов. Эту
Ч Выразив В' через Н' во втором из уравнений (130,2), подставим из него Н' в первое уравнение, после чего спроецируем последнее на направление Ь. Произведение кЕ' выражается через ЬЕ' из уравнения kD' = 0.
2) Сохранение импульса связано с пространственной однородностью поля, но имеет место, конечно, лишь для процессов с незаряженными частицами. В лагранжеву функцию заряженных частиц входят не только напряженности, но и потенциалы поля, зависящие от координат и в однородном поле.
§ 130] РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ 653
связь можно установить уже из анализа законов сохранения (1?0,7) с учетом изменения закона дисперсии фотона в магнитном поле.
Запишем закон дисперсии в виде
ш = А + р(к), (130,8)
где (НЮ — малая (в слабом поле) добавка. Ее наличие делает, в принципе, возможным выполнение равенств (130,7) для импульсов ki, k2, лежащих в некотором узком конусе вблизи направления к. Ввиду близости направлений всех трех векторов к, к[, к2 можно в малых членах Р(к) положить их все направленными вдоль к и считать, что k\ + k2 = k. Тогда закон сохранения энергии запишется как
Р (х/г) — Р[ (*&,) — р2 (х (k — k{)) = k{ + | k — k[ | — k
(x = k/k)\ поскольку закон дисперсии зависит от поляризации фотона, функции р, рь р2 могут быть различными. Учитывая, что
| к - к, | = [(k- kxf + 2kkx (1 - cos #)Р « А - А, + Yir-kl) &
(й — малый угол между к и ki), имеем
Р (xk) - р, (*к{) - р2 (и (к — k{)) = 2 (f^-iy > 0. (130,9)
Это неравенство определяет необходимые для распада свойства закона дисперсии.
Для частот со -Cm закон дисперсии дается формулами (130,5—6), так что P(k)« — k[n{x)— 1], где функция п(х) зависит от направления, но не от величины вектора к. Тогда должно быть
k{ti{ (х) (k — kx) п2 (х) — kn(x) > 0. (130,10)
Поскольку п± > п\\, этим условием сразу исключаются распады Yx^Yj + Y,,. Yx^Yh + Yx.
