Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
При обосновании общей теории интегральных уравнений мы довольствовались вытекающей из принципа сходимости гл. II, § 2 уверенностью, что из множества решений аппроксимирующих интегральных уравнений можно выделить последовательность, равномерно сходящуюся к решению интегрального уравнения. Понятия меры независимости и асимптотического числа измерений последовательности функций, также введенные уже во второй главе, дают, однако, возможность несколько другим способом обосновать теорию интегральных уравнений и обозреть при этом многообразие решений аппроксимирующих уравнений во всей их совокупности в отношении их свойств сходимости с возрастанием приближения. Так как, помимо того, при этом получаются новые заслуживающие внимания точки зрения и результаты, то уместно будет привести здесь относящиеся сюда соображения.
1. Лемма. Приложение к теории интегральных уравнений понятий, выясненных в гл. II, § 3, основывается на следующей лемме: Пусть (s), ф2 (s), ... — последовательность функций, нормы которых остаются ниже заданной грани M и для которых выполняется соотношением
причем сходимость равномерная. В таком случае функции фл (s) образуют гладкую последовательность функций конечного' асимптотического числа измерений г.
Для доказательства заметим, что соотношение (81) сохраняет силу н в том случае, если функции ф„(«) заменить какими угодно функциями
In (s) — X1^n -J- ... -J- x , представляющими собой линейные комби-' 1 р
нации, с ограниченными по абсолютной величине коэфициентами X1, х2,___,хр, из какого угодно числа р таких функций
последовательности фп, выбранных таким образом, что индексы U1 безгранично возрастают одновременно с п. Теперь, если среди функций фп(з) имеются такие группы по г функций со сколь угодно большими индексами и, что мера независимости этих групп остается выше заданной границы а, если, другими словами, число измерений последовательности по меньшей мере равно г, то можно эти группы ортогонализи-ровать каждую внутри себя, причем согласно гл. И, § 3, 1 получающиеся коэфициенты остаются ниже числа —т=. Таким путем мы полу-
Fa
чаем группы из г взаимно ортогональных нормированных функций u>„ , (s) (г = 1, 2 ,.,.,/¦; п = 1, 2, 3,...), для которых выполняется предельное равенство:
(81)
Фи,' • • • ' Фетр
(82) Новое обоснование теории
137
равномерно относительно s. Обычное рассуждение с помощью неравенства Бесселя обнаруживает, что при всяком п
j* J К (s, t)2 ds dt X j О «V (*) dt J
откуда в силу (82) имеем:
Я
K(s, tfdsdt
Таким образом мы получили границу для числа измерений последовательности и обнаружили, что это число конечно. Что последовательность является гладкой, вытекает непосредственно из равномерности предельного перехода в выражении (81). Действительно, во-первых, если обозначим через гп число, стремящееся к нулю с возрастанием п, то в силу неравенства Шварца имеем:
что обнаруживает равномерную ограниченность функций ^„(s). Во-вто-рых, из соотношения ^ —f— ... —)2 ds<^B точно таким же образом получается соотношение:
(Xltyni +... + V'«/ <^ о2 dt 4
чем доказывается гладкость последовательности функций.
2. Собственные функции симметрического ядра. Доказанной леммой мы воспользуемся прежде всего для того, чтобы получить собственные функции симметрического ядра K(s, t), которое равномерно аппроксимируется выродившимися симметрическими ядрами An (s, t). Пусть, как и раньше, Ji'"', JJif2"), ... — положительные, )1?, ... —
отрицательные собственные значения ядра An (s, t), a <]/j")(s), tyW (s), ... и соответственно ty^(s), (s)' ••• —соответствующие им собственные функции. При этом кратные собственные значения повторены надлежащее число раз. Далее, пусть снова Jn(y, y) = \[An(s, t)y(s)w(t)dsdt
и J (у, <р) = ^ K(s, t)<f (s)y (t) ds dt—интегральные формы, принадлежащие соответственно ядрам An(s,t) и K(s,t), и пусть форма J (у, ш) способна принимать положительные значения, что мы вправе предполагать. 1
Jif
функции, a X1 = -— — верхняя граница формы J(у, у) при том же усло-J1I
вии. Так как значения J(<р, <р) и Jn (<р, <р) отличаются между собою меньше чем на заданное сколь угодно малое число, то непременно IimJif1^=Ji1.
Тогда у. (">=-—. есть максимум формы ./„(<р, <р) для нормированной
и-> оо
') Ср. § 4, 2 этой главы, стр. 120. 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
Следовательно, из равенства:
4><л) (S) - Кп) j К (s> ') W W dt^0
в силу того, что An(s, t)=*K(s, t), вытекает соотношение:
й<«> (S) - Ii1 0 ф [п) (t) dt=* 0.
dt G
(83)
Согласно нашей лемме функции образуют гладкую последовательность конечного, очевидно, положительного, числа измерений г !равенство г нулю противоречило бы предположению, что функции ф(я) (s) нормированы], а следовательно, определяют, согласно гл. II, § 3, линейную совокупность функций с нормированными ортогональными компонентами (s), ... , <Ь] Д«), которые, необходимо, удовлетворяют однородному интегральному уравнению:
а потому являются собственными функциями ядра K{s,t), принадлежащими собственному значению Ji1. Точно таким же путем получим остальные собственные значения и фундаментальные функции ядра K(s, t). Действительно, например, '/Sjp = —^ есть наименьшее значение максимума фор-
