Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
мы J (<р, ф), достигаемое при надлежащем выборе функций V1 (s), V2 (s),n... Vfl^1 (s) при дополнительном условий (<f>, (f )==1 и прочих добавочных условиях (<p, Vi) = 0 (г = 1, 2, ... , h — 1).
Если мы снова определим- v.h= —г как соответствующую нижнюю
• А
границу верхней границы формы J (tf>, tp), то в силу близости совокупности значений форм Jn ((?,<?) и J (у, ср) имеем снова Iim == ]іЛ.
поспе чего остается повторить предыдущие рассуждения. Для того чтобы получить отрицательные собственные значения и принадлежащие им собственные функции, следует рассматривать соответствующие задачи на минимум и на максимальное значение минимума. Если имеется лишь конечное число собственных значений того или другого знака, то процесс их отыскания следует оборвать на надлежащем месте, что не нуждается в дальнейших разъяснениях.
3. Несимметрические ядра. Ив случае несимметрического интегрального уравнения (1) настоящий метод также дает принципиальное упрощение и углубление по сравнению с прежним методом. Пользуясь старыми обозначениями, мы можем ограничиться здесь кратким указанием. В случае I пусть р„ и ся таковы, что при всяком п норм сп остается меньше числа М. В таком случае и .норм разности ри—pm = ?nm
я-» OO
Отсюда выводим соотношение: § 8
Новое обоснование теории
139
остается меньше некоторой грани, а именно 4M. Далее, имеем:
(равномерно относительно s), а потому, согласно нашей лемме, всякая часть двойной последовательности сп т, у которой пит одновременно безгранично возрастают, имеет ограниченное асимптотическі е число измерений г, причем грань для г зависит лишь от ядра К (s, t) и от I. Стало быть, и наша двойная последовательность ^n т определяет линейную предельную совокупность (ср. гл. II, § 3) с конечным числом г
ортогональных компонент <]>j(s), ф2 (s),___фг($)> исключая разве только
тот случай, когда асимптотическое число измерений всякой частичной последовательности равно нулю, т. е. „,==»¦0. В последнем случае г=0 функции p„(s) просто сходятся равномерно к решению интегрального уравнения:
/(s) = <p(s) —X jff(s, t)y(t)dt.
В случае 0 функции (s) являются решениями однородного уравнения. Заменим рп функцией
rIn (s) = Pn (s) + *i<J>/ (s) + ¦ • ¦ + xA (sK
ортогональной к функциям ^1(S), ф{ (s), ... , фг(з). Для этих функций, несомненно, выполняется соотношение:
[ч„ (S) - * J ff О (t) dt j -/(S) =- о.
К разностям 7jn—4m= т можно теперь снова, как это сделано было выше, применить нашу' лемму, и легко придем к заключению, что "число измерений всякой части этой последовательности должно равняться нулю, и что, следовательно, функции Jjn (s) равномерно сходятся к предельной функции, ортогональной к ф, (s) и удовлетворяющей интегральному уравнению. В случае II подобным же образом на основании нашей леммы получим, в качестве предельного образования последовательности
функций On(S) = -, линейную совокупность функций, являющихся
Сп
решениями однородного интегрального уравнения. Таким образом по нашему второму методу получается более отчетливое проникновение в природу господствующих здесь соотношений сходимости. Мы убеждаемся, что, рассматривая аппроксимирующее интегральное уравнение с ядром An(s,t), мы действительно с произвольной точностью приходим к решению неоднородного (или, соответственно, однородного) интегрального уравнения.
4. Непрерывная зависимость собственных значений и собственных функций от ядра. Что касается вопроса о том, в какой мере решения интегрального уравнения непрерывно изменяются вместе с ядром, мы ограничиваемся задачей о собственных значениях при симметрическом ядре K(s, t). Пусть ядро К(s, t) является пределом равномерно сходящейся последовательности симметрических ядер K„(s, t) 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
(л=1, 2, 3, . . . ). Если рассматривать функции ip (s), удовлетворяющие условию (f, (f) < М, то значения соответствующих этим ядрам интегральных форм Jn(y, <{>) и J(w, ш) при достаточно большом п отличаются между собою на сколь угодно малую величину. То же самое справедливо поэтому и для максимумов ичи минимумов этих форм при добавочных условиях (tPitP)=Ii (4>'v/)=0' и точно так же и Для наибольших значений минимумов или наименьших значений максимумов. Другими словами: h-e положительное и h-e отрицательное собственное значение изменяются непрерывно вместе с ядром. Что касается собственных функций, то у них нельзя ожидать закономерной непрерывности, если принять во внимание пр жзвольность их знака и возможность кратных собственных значений. Зато здесь справедлива следующая теорема: Пусть Ih является г-крат-ным собственным значением ядра K(s, t), т. е. пусть
Xa = Iim W= Iim Х(Ді = . . . = lim Х^г-i.
л-» OO л-»СО л-» СО
между тем как- для X^Li и это соотношение не справедливо.
В таком случае при п—>со линейная совокупность собственных функций <5>ftn)(s), фл + і (s), • - фй + г —і (s) ядра Кп(ч, t) равномерно сходится1) к линейной совокупности собственных функций ядра K(s, t), принадлежащих собственному значению ХА.
