Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Продолжая этот процесс, приходим к последовательности, возможно чередующихся, положительных и отрицательных собственных значений. Расположим их в порядке возрастающей абсолютной величины и обозначим в этом порядке через X1, X2,X3, ... ; тогда | X1 | ^ | X2 | ^ 1X31 sg ... Через Cp1(S), tP2(S) ••• будем отныне обозначать соответствующие собственные функции, составляющие систему нормированных ортогональных функций.
Если ядро K(s,t) обладает лишь конечным числом собственных значений X1,____ \п, то оно непременно вырождается и имеет следующий вид:
Kls, 0 = (45)
/=1 Ч
так как на основании соображений стр. 114 ядро:
I=I
должно тождественно исчезать, ибо и максимум и минимум соответствующей интегральной формы:
НЪ <Р) = ( f * t) <Р (S) <р W ds dt, оба равны нулю. ^" 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
Итак, ядро, обладающее лишь конечным числом собственных значений и собственных функций, вырождается. Наоборот, выродившееся ядро имеет лишь конечное число собственных значений и собственных функций. В самом деле, выше мы узнали, что задача о собственных значениях такого ядра эквивалентна задаче о собственных значениях квадратичной формы, где возможно лишь конечное число собственных значений.
Согласно § 1 собственное значение I1 называют кратным, и именно r-кратным, если число ему соответствующих линейно независимых собственных функций, — которые, кстати, можно выбрать взаимно ортогональными, — в точности равно г. Каждое собственное значение может иметь лишь конечную кратность г. Эту теорему, уже доказанную в § 1, можно доказать с важным дополнением еще следующим образом: применяем к ортогональной системе функций Cp1, <р2, <р3, ... соотношение Бесселя из гл. II, § 1 и пишем:
jV(s, W)^)2' (46)
или
I.
со
К (s, tf dt ^ (47)
«=i А/
Здесь содержится, во-первых, тот факт, что состоящий исключительно из положительных членов ряд:
OO
1=1
(48)
сходится, и к тому же равномерно в силу теоремы Дини (ср. сноску на стр. 50); во-вторых, интегрируя соотношение (47) вторично по s, получим:
со 1
K{s,t)4-dsdt S= 2 Tj-. (49>
I=I V
И
Итак, мы обнаружили, что сумма обратных величин квадратов собственных значений сходится. Следовательно, собственные значения не могут иметь точек сгущения в конечном; если их число бесконечно, то они должны безгранично возрастать по абсолютной величине, и равных между собою собственных значений может оказаться лишь конечное число.
Отсюда можно заключить, что собственные значения \ и фундаментальные функции фх., последовательно определенные выше при помощи экстремальных задач, исчерпывают всю совокупность действительных собственных значений и собственных функций. (Что комплексных собственных значений быть не может, будет доказано ниже.) Если бы і была собственная функция, линейно независимая от функций <р,, принадлежащая, скажем, положительному собственному значению о, то на основании приведенного выше рассуждения функция ^ должна быть § 4 Симметрические ядра и их собственные значения 121
ортогональна ко всем собственным функциям, принадлежащим собственным значениям I1 ф- а. Если же а = }ХЛ — одному из определенных выше собственных значений, и если это собственное значение имеет кратность г, т. е.
IxZi-1 I1Zi =V-/1 +1 = • • . = ?zi+r-l ?zi + r '
то можно было бы, так как х, пэ предположению, линейно независима
OT собственных функций J ------, заменить функцию X
комбинацией X+• - ¦ Фл+r-i — X' ортогональной к этим
функциям, и X также является собственной функцией, принадлежащей собственному значению цЛ. Следовательно, функция х, которую мы теперь снова будем обозначать просто через х> в каждом из двух рассматриваемых случаев ортогональна ко всем собственным функциям (J)f. Отсюда, на основании максимального свойства собственных значений, для всякого п, для которого существует ;хя+1, вытекает справедливость соотношения:
J(ъ l)=И к{s'1) 1 {s)l[t)dsdt=^ (X. х)^•
Таким образом, если положительных собственных значений цп бесконечно большое число, то отсюда, в силу равенства Iim Jjiw = OD, вытекает, что (у, х) = 0, и, следовательно, функция х должна тождественно равняться нулю. Если же положительных собственных значений конечное число,' положим п, то J ('/, х) уже не может более принимать положительные значения при дополнительных условиях
(X, (Jjf)=O (/==1, ... , Tl),
и отсюда опять следует равенство (х, у) = 0, а следовательно, у = 0.
Так как этот способ рассуждения применим без изменения и к отрицательным значениям а, то отсюда следует вывод, что всякая собственная функция ядра, ортогональная ко всем функциям должна тождественно исчезать, чем и доказывается наше утверждение.
К полученным результатам присоединим еще несколько замечаний, которые нам пригодятся впоследствии.
Обозначим через rtl (s), ri2 (s), ... ; Cr(s), S2 (s), ... две последовательности непрерывных (или кусочно-непрерывных) функций, нормы которых лежат ниже заданной грани М. В таком случае для ядра
I=1 Л<
выполняется соотношение:
