Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
1. Теорема о разложении. Если бы было известно, что ядро, соответственно преобразованию квадратичной формы к главным осям 2), допускает разложение в ряд:
„1с Л у Vits) у,(О
K(s,t) = 2u-ї-> (52)
i=i Ч
причем ряд в правой части сходится равномерно относительно каждой переменной, то тем самым для всякой функции g(s) вида:
g(s)=\K(s,t)h(t)dt,
(5?)
где h (I) — любая непрерывная или - кусочно-непрерывная функция, было бы доказано разложение в ряд:
cd j
S № = X g^i • Si — (g> Vi) = ?, Vi) T-«=і Ai
To обстоятельство, что мы не можем доказать соотношение (52) в общем виде, вынуждает нас вести доказательство общности разложения для функции g(s) несколько окольным путем. Пусть ht = (h, Iff) — коэфициенты разложения функции h относительно ортогональной системы (pj, <р2, ... ; пусть g(s)—„истокообразно представленная" по формуле (53) при помощи h(s), непрерывная функция, а
» hI
Si= V,) = Y Ч
— коэфициенты разложения функции g. В силу неравенства Бесселя
cd
ряд ^ A2 сходится. Согласно равенствам (47) и (49) в § 4, 2 сумма
і= і
со „
ги-Е^Р _ 1=1 і
') Ср. Weyl H., Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der HohI-raumstrahlung), Math. Ann., BJ- 71, стр. 441—47Э, 1912. ») См. гл. I. § 3. § 5 Теорема о разложении и ее применения
125
равномерно сходится и ограничена равномерно относительно s. Но согласно неравенству Шварца
Так как остаток Fi2 -)-... h2m делается сколь угодно малым, коль
W Is)2 , , Ipm(S)2
скоро только я становится достаточно большим, а ----[-___-f- - -
ья т
остается ниже не зависящей от s грани, то ряд
со со
Jgihis) =XrfHs)
J=I j=i \
сходится абсолютно и равномерно. Его сумма
я
Y(S) = Hm Узд (S) = Iim y„(s)
я-п—»GO
есть непрерывная функция от s. Требуется доказать, что у (s) тождественно с g(s). Для этой цели образуем выражения:
*w (.,o=ff(m)-і
і/
gis)—Te(S)==J K{n)(s,t)h(t)dt,
помножим последнее равенство на произвольную непрерывную функцию W (s)apryMeHTa s и проинтегрируем по s. В силу формулы (50) из § 4,2 в полученном равенстве
J та (S) [g(s)~ Yn(S)] ds=J J Km (s, t) h (/) та (s) ds dt
правая часть стремится к нулю при возрастании п, а так как yn(s) => y(s), имеем:
I
®(s) [#(«) — Y(.)] ds= 0.
Это равенство должно выполняться для произвольной функции w(s), следовательно, и для функции та (s) = g(s) — у Но из непрерывности функции ? (s) — Y is) следует, что равенство (g — у, g—у) — О возможно лишь в том случае, если g (s) — y(s) тождественно равно нулю, что и
') Так мы будем обозначать отныне эту функцию, которую мы раньше (стр. 121) обозначали через К(П). 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
требовалось доказать. Таким образом мы получили основную теорему о оазложении:
Всякая непрерывная функция g(s), которую можно представить истокообразно в форме (53) с помощью кусочно-непрерывной функции h(t), может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собственным функциям ядра К (s, t).
2. Решение неоднородного линейного интегрального уравнения. В качестве применения этой теоремы выведем формулу для решения неоднородного интегрального уравнения:
= (1)
При этом мы предположим первоначально, что значение параметра X не совпадает ни с одним из собственных значений Если принять, что непрерывная функция ф (s) с коэфициентами разложения (<р, <рг) решает интегральное уравнение, то функция <р (s) —f(s) = g (s), на основании теоремы о разложении, примененной к функции h (t) = X^ (;), должна разлагаться в равномерно и абсолютно сходящийся ряд:
со
g (S) = V (S) -/(«) = ? cIb ^ =1 K(s,t)v(t)dt, (54)
i=i J
причем C1 = (g, <р;). С другой стороны, из (54) следует:
ИХ X X
K(s, t)<ft(s)y (t)dsdt= j-(<p„ Ч>) = -^(^,/) + -^(?, ^r).
откуда
C1=Z1^[/, = K-,/)1- (55)
Таким образом мы получили бы для <f разложение в ряд:
со
V (S) =/(*) + * X Ъ (56)
/=1 '
который должен представлять собой решение интегрального уравнения (1). Что это действительно так, можно узнать следующим образом. Ряд сходится абсолютно и равномерно, что доказывается точно по вышеприведенному образцу. Надо лишь заметить, что для достаточно больших/ при произвольном X справедливо, во всяком случае, неравенство
!^г — так что> отвлекаясь от начальных членов, получаем
CD
!/,Iivz(S)I
сходимость
в качестве мажоранты ряд 2 j X | ? !Alijp'№1, равномерная
I*/1
которого доказана выше. Подставив теперь ряд (56) вместо <р (s) в уравнение (1), непосредственно убеждаемся, что уравнение (1) удовлетво- § 5 Теорема о разложении и ее применения
127
ряется. В согласии с теоремами § 3, это решение отказывается служить лишь в том случае, если X =Xi есть одно из собственных значений; оно остается действительным еще и в этом случае, если f(s) удовлетворяет условиям ft = (f, (P1) =• 0 для фундаментальных функций принадлежащих значению Xr Так как, в силу теорем § 3, интегральное уравнение (1) не может иметь решения для некоторых функций f(s), если 1 есть собственное значение, то отсюда следует, что помимо наших значений X, никаких других собственных значений ядро иметь не может. Наше утверждение, что все собственные значения симметрического действительного ядра действительны, стало, таким образом, самоочевидным, независимо от рассуждений на стр. 122.
