Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
3. Билинейная формула для итерированных ядер. Дальнейшее примененйе теоремы о разложении мы получим, полагая h (а) = К (a, t). Для „итерированного ядра"
мы получим тогда разложение:
оо
K^(s,t) = ^K(s,o)K(o, t) do
К™ (s, t) = ?J К (о, t) ъ (о) do,
или
cd
= (57)
X2
Точно так же для дальнейших итерированных ядер I<W(S, t) = jV<2> (s, о) К (о, t) do=
= [ Г K(s, O1) К (о,, о2) К (о2, t) dov do2,
KW(s, = о) К (о, t) do=
= j - • • j* K(s, O1) K (O1, o2)... K{an_v t) do,... don_x
получаются разложения:
оо
= (« = 2,3,...); (58)
все они сходятся абсолютно и равномерно относительно 5 и • относительно t и, как будет показано в п. 4, равномерно также и относительно обеих переменных. В силу (57) справедливо, во всяком случае, равенство:
оо
#»(3,8) =
/«1 Л/ 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
следовательно,
Hm (W, *)-?«#')»
«-»оо \ ,=і /
Но это означает, что
І1шГкв,0-І^(5Гл=0, (59)
"-»ooj L ;=1 1I J
' сходится в среднем к K(s, t). В том случае,
i=1 1i
<р, (S) ф, (t)
если ряд > ——¦— при фиксированном значении s сходится равно-«=1 1I
мерно относительно t и представляет, следовательно, при фиксированном S непрерывную функцию L(s, і) от t, должно иметь место равенство:
K=L.
Действительно, в этом случае можно в равенстве (59) выполнить предельный переход под знаком интеграла, после чего получится:
J [К (s,t)-L Cs,/)]2 dt = 0,
откуда следует, что К—1 = 0.
4. Теорема Mepcepa1). Формулу (58) следует рассматривать в общем случае как соотношение, которое, соответственно существу дела, заменяет равенство (52), ибо формулу (58) можно доказать в общем виде, лишь начиная с и = 2. Для одного вавкного частного случая можно, напротив, высказать следующую теорему: Если K(s,t) есть определенное, непрерывное, симметрическое ядро или если оно имеет лишь конечное число собственных значений одного из. двух знаков, то разложение (52) справедливо и сходится к тому же абсолютно и равномерно.
Для доказательства предположим сначала, что K(s, t) положительно определенно, так что все собственные значения \ положительны. Далее, заметим, что для всякого положительно определенного непрерывного ядра H(s, t) справедливо неравенство H(s, s) ^s 0. В самом деле, если бы было H (s0, s0) 0, то существовала бы такая окрестность точки s = S0, t = S0, скажем, IS — S0 І є, 11 — S0 | є, что повсюду в этой области H(s,t)<^0. Определим теперь функцию ф (s) условием ф (S)=I при Is — S0I^e и ф (s) = 0 вне этого промежутка. Для этой функции наверно справедливо неравенство:
і) Mercer Т., Functions of positive and negative type and the:r connection with the theory of integral equations. Trans. London Phil. Soc. (А), том 209, стр. 415—446,
1909. § 5 Теорема о разложении и ее применения 129
противно предположению, что H положительно определенно. Прилагая этот результат к положительно определенному ядру
H=Kis,
ы 1 '
получим:
л
і=1
OO
I
ных членов, сходится при всяком значении s. В силу соотношения
t \2
Следовательно, ряд ^ — , состоящий исключительно из положитель-
IvAI Vm(J)VmWa^
Wk Vk Vk Vk) ^
- (Чп W _J_ . Vm т (Vn W , Ifffi (І)2 \
(неравенство Шварца), ряд У УіЩУі^) также сходится абсолютно и
<=1
притом при заданном s равномерно относительно t, и при заданном t—
OO
(В.(s) v,(t)
равномерно относительно s. Следовательно, функция > — ПРИ
i=i
заданном s непрерывна относительно t, и наоборот. Таким образом она на основании предыдущего равна ядру К.
Наконец, убедимся еще в том, что этот ряд сходится также равномерно относительно обеих переменных одновременно. Достаточно для этого на основании приведенных выше оценок показать равномерность
и
сходимости ряда > '1 . Но согласно только что доказанному 1=1 1I
со
Z=I nI
a K(s, s)—непрерывная функция. С другой стороны, существует теорема1): Если ряд положительных непрерывных функций ооной переменной сходится к непрерывной функции, то ряд сходится в соответствующем интервале равномерно.
Применение этой теоремы дает непосредственно требуемый результат.
і) Ср. стр. 50 примечание.
9 Куравт-Гидьбврт. 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
Наличие конечного числа отрицательных собственных значений не может ничего изменить в сходимости ряда (52), так как ядро, после
Ф/(S)tP/(0 й
отделения членов ——— , соответствующих отрицательным собствен-
h
ным значениям, становится положительно определенным. Таким образом наша теорема сходимости доказана в полном объеме.
§ 6. Ряд Неймана и разрешающее ядро.
Изложенная выше теория интегральных уравнений дает нам одновременно метод решения, указывая путь, как действительно вычислять эти решения с произвольной точностью (см. также § 8). Однако эти решения она дает не в изящной законченной форме, в какой были получены решения в теории линейных уравнений гл. I. Но и здесь можно притти к такому явному решению вполне аналогично тому, как это было сделано в гл. I. Перепишем интегральное уравнение (1), подставив в правой части вместо w (t) снова ее выражение из (1). Продолжая таким образом, получим уравнение с помощью итерированных ядер в следующем виде:
