Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 58

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 202 >> Следующая


''-I

рактеристическим числом Tii =/(yv). Что H других характеристических чисел и фундаментальных функций не имеет, легко обнаружить, для чего достаточно показать справедливость соотношения:

Jj//M1 =]?/(*,)».

7. Пример несимметрического йдра, не имеющего соб-

ОЭ

ственных функций. Ядро K{s, t) = YiSltl VS S1" Iv 1) f не имеет

V=I V2

для области собственных функций, так как для йтериро-

») Kellogg О. D., On the existence and closure of sets of characteristic [unctions, Math. Ann., т. 86, стр., 14—17, 1922.

10 Куравт-ГидьСерт. 1І6

Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений

Гл. IIl

ванных ядер получаются следующие выражения:

к-(«> Is Л=*Tt-I V__sinvssin (у+я)*_

V vMv+ I)2-. .(v-f-« — l)r '

следовательно, ряд Неймана сходится при всех значениях X. Тот же результат можно получить, доказав, что соответствующая ядру К функция D(I) постоянна 1J.

8. Интегральные уравнения Вольтерра2). Если K(s,t) = О при s<^t, то интегральное уравнение можно написать в следующем виде:

f(S) = ф (S)—:X j* к (s, t) if (t) dt.

а

Такие типы интегральных уравнений изучены, главным образом, Вольтеррой. Показать, что соответствующая резольвента есть целая трансцендентная функция от X и, следовательно, интегральное уравнение Вольтерра имеет для каждого значения X одно и только одно решение, а стало быть, не имеет собственных функций ни для какого значения X.

9. Интегральное уравнение Абеля3). Уже Абедь (Abel) составил важное для многих приложений частного вида интегральное уравнение типа Вольтерра для решения нижеследующей задачи: материальная точка движется под влиянием силы тяжести по гладкой кривой, расположенной в вертикальной плоскости. Время t, которое ей требуется для того, чтобы спуститься вдоль кривой с высоты X до самой низкой точки ее, есть заданная функция / от х; каково уравнение кривой? Задача приводит к интегральному уравнению:

f (X)=Uim^-.

J/2g(x-t) о

Если принять,_ что f(x) — исчезающая при л: = 0 функция, имеющая непрерывную производную, то решение интегрального уравнения Абеля дается формулой:



__V2g[f(t)dt

Jl^

о

¦t

где g — ускорение силы тяжести, и уравнение кривой получается в следующем виде:

: jVVW—ll

dt.

1) Аналогичные ядра приведены у Гурса: Goursat, Cours d 'Analyse (см. перечень литературы).

2) Volterra V., Lefons sur Ies Equations integrales et Ies equations integro-differen-tielles, гл. II, Paris 1913.

3) Abet, Solution de quelques problem es a l'aide d'integrales dfifinies. \Werke (Christiania 1.881)1, стр. 11—27; Bdcher, Integral Equations, стр. 8. Cambridge University Press, 1909. Дополнения и задачи к третьей главе

147

В качестве более общей задачи можно рассмотреть уравнение:

X

P ф (s) ds

а

решение которого выражается формулой:

X

щ Zjc^sIE aIr /И , Sinanf f'(s)ds ' ті (х-а)1-« ' п J(S-^)I-" '

а

в предположении, что f(x) имеет непрерывную производную.

10. Взаимно сопряженные ортогональные системы, принадлежащие несимметрическому ядру1). Составим для несимметрического ядра K(s,t) два симметрических ядра K'(s,t) =

= ^ К (s, а) К (t, afda и Kp (s, t) = \К(а, s) К (a, t)da. Существует последовательность пар функций ip v(s), ф„ (s) (v ==1,2,,..) и соответствующие значения Xv, которые удовлетворяют следующим соотношениям:

<Pv (*) = К J к (S, t) ф„ [t) dt, d)v (S) = Xv j к (t, S) <?(t) dt,

<?., (S) = Х2 j K1 (s, t) «pv (t) dt, <К (S)=X* j К" (S, t) d)v (t) dt.

Всякая функция, которую можно • представить в .форме \ K(s,t) h (t) dt, допускает абсолютно и равномерно сходящееся разложение по ортогональной системе <pv, и точно так же всякая функция вида s)h(t)dt допускает разложение по ортогональной системе ф,. Далее, справедливо ^tU (s) ф ('/)

разложение K(s, t)= У j \ —, если .только ряд справа равномерно

v=l v

сходится относительно каждой переменной. Ядро К однозначно определяется значениями Xv и обеими независимыми друг от друга ортогональными системами.

11. Интегральные уравнения первого рода. Примеры интегральных уравнений первого рода вида:

t) <р (t) dt (84)

встречались нам неоднократно. Например, возможность разложения по собственным функциям ядра была поставлена в зависимость от разрешимости некоторого интегрального уравнения первого рода. Далее, такие примеры представляли интеграл Фурье и интегральное преобразование

') Schmidt E., Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen,

1 Teil: Entwicklung willkurlicher Funktionen uach Systemen vorgeschriebener, Math. Ann., т. 63. стр. 433—476, 1907.

10* 1І6

Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений

Гл. IIl

Мелина (гл. II, § 10, 8). Затруднение для теории интегральных уравнений первого рода 'леЖит* в том обстоятельстве, что при непрерывном ядре K(s,t) многообразие всех кусочно-непрерывных функций ср (s) преобразовывается в часть того же многообразия, так как все получающиеся таким образом функции f(s) во всяком случае ' непрерывны. Если ядро K{s, t) диференцируемо, то всякая кусочно-непрерывная функция, даже всякая только интегрируемая функция ср (s), преобразовывается в диферен-цируемую. Стало быть, интегральное уравнение не может иметь для-«сякой непрерывной функции f(s) непрерывное решение ср (s). Лишь постольку, поскольку ядро уклоняется от правильного поведения, можно ожидать разрешимости уравнения (84) для более общих классов функций f(s). Предлагаем рассмотреть с этой точки зрения ранее встречавшиеся и следующие в дальнейшем примеры, причем распространение основной области в бесконечность надо считать эквивалентным наличию особой точки ядра.
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed