Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
W (S) = /(S) +1 j к t)f(t) dt -J- X2 j" tf« (s, t) <p (t) dt
=/(*) + > Jff (s, 0/IOdi+Iа jV2> (s, t)/(t) dt -f X« jV« (s, t)w(t)dt
и, как в гл. I, усматриваем отсюда, что решение дается бесконечным рядом:
<p(s)=/(s) + xjtfM)/W<«+X" jV2>(s, t)/(t)dt-\- (60)
если только этот ряд равномерно сходится. Если сделать несколько далее идущее предположение о равномерной сходимости выражения
К (s, t) = K(s, t) -f ). K^ (s, t) -f W3) (s,t) 4-... , (61)
то решение интегрального уравнения
f(s) = <p(s) — l§K(s, t)v(t)dt
представится в форме „взаимного интегрального уравнения"'
<Р («) =Z(S) 4-X f К (S, t)/(t) dt. (62)
Функцию К (s, t) = K (s, t; X) мы назовем поэтому также взаимным или разрешающим ядром или резольвентой.
Ряд (60) или (61) мы будем называть рядом Неймана. Он во всяком случае сходится при достаточно малых значениях |Х|, например при
UK -^ > где M — верхняя граница абсолютной величины K(s, t).
Таким образом при достаточно малых значениях | X | раарешающее ядри §6
Ряд Неймана и разрешающее ядро
131
является аналитической функцией от X. Оно удовлетворяет следующим соотношениям:
в чем можно убедиться непосредственно подстановкой.
Если ядро K(s, t) симметрично, то разрешающему ядру легко можно дать весьма замечательную форму, которая делает наглядным характер аналитической зависимости функции К от X; а именно, принимая во внимание разложение (58) для симметрических ядер K^ (s, i), K^ (s, t),... и суммируя появляющиеся при этом в (61) геометрические ряды, непосредственно получаем:
При этом, как показывает рассуждение, совершенно аналогичное проведенному в § 5,1 и § 5,2, ряд справа сходится при всяком значении X, не являющемся собственным значением, и притом равномерно относительно s и t.
Соотношение (64), доказанное пока лишь в предположении сходимости ряда Неймана (61), дает аналитическое продолжение резольвенты К (s, t; X) на всю комплексную плоскость X, причем собственные значения X/ оказываются 'все простыми полюсами. Таким образом мы в формуле (64) имеем разложение резольвенты иа простые дроби, и наш результат можем выразить так: Резольвента симметрического ядра есть мероморфная функция от X, для которой собственные значения интегрального уравнения являются простыми полюсами. Ее вычеты относительно полюсов X,- дают соответствующие этому значению собственные функции. Из ряда Неймана и формулы (64) вытекает, что радиус сходимости ряда Неймана равен наименьшей из абсолютных величин собственных значений.
Согласно теоремам общей теории функций, резольвенту, как меро-морфную функцию, возможно представить в форме отношения двух целых трансцендентных функций, и следует ожидать, что эти целые трансцендентные функции могут быть выражены в виде таких повсюду сходящихся степенных рядов, коэфициенты которых можно составить непосредственно с помощью данного ядра. В алгебраической задаче мы имеем перед собою такой способ выражения в формулах гл. I, § 2. Естественно предположение,' что h 'здесь' можно установить совершенно аналогичные формулы. Можно, далее, ожидать, что эти формулы отнюдь не ограничены случаем симметрических ядер, но годятся и для произвольного непрерывного несимметрического ядра. Такие соотношения действительно установлены Фредгольмом, который сделал их исходным пунктом всей теории. В следующем параграфе мы покажем, как можно вывести эти формулы Фредгольма естественным путем, причем мы снова равно-9*
/=і і
(64; 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
мерно аппроксимируем ядро выродившимися ядрами An(s,t) и затем совершим предельный переход п-->00 1J.
§ 7. Формулы Фредгольма.
Так как в дальнейшем мы формул Фредгольма применять не будем, то в нижеследующих выводах мы некоторые промежуточные вычисления с определителями предоставим читателю 2).
Воспользуемся рассуждениями и обозначениями гл. I1 § 2. Для
п
выродившегося ядра K(s, t) = A (s, t) = ^ аР (s) Pp (0 интегральное урав-
P= і
нение /(s) = f (S) — X
dt принимает виц:
<р (s) =f(s) -J- X X храр (S) =Z(s) -f IE (лг, а (в)),
(65)
p=i
если, как и раньше, положить хр = (у, ?p). Сохраняя прежние обозначения yp = (f,$p), kpg = (ag,$p), получим для хр систему уравнений:
ур-=jcP-xHw
9 = 1
(66)
решение которой дается равенством:
E (X, и) =
A (J1UJlI) Д(Х)
откуда решение интегрального уравнения (1) получится в следующем виде
А (У, а (з); I)
® (S) =Z(S) -Ь Х? (x, a (s)) =/(s) - X
A(X)
При этом
Д (у, и; X) = A1 (у, и) - A2 (у, и) X + ... -+- (- 1) Д„ СУ, ") Vі, A (X)=I-A1X+...-і-(-1)»Д„Х",
где
АЛСУ> И) = S
0 Un Pi и Ph
УРІ kPiPl kPlPt ¦' ¦ kPiPh
У pi kPlPi kPiPi • ¦ ъ ¦ ¦ Г,Pll
yPh kPhPl kPhP3 • '' kPhPh
(67)
} (68)
(69)
') Этот метод впервые применил Э. Гурса (Е Goursat) в работе: Sur uti cas ё1ётепШге de Г equation de Fredholm, Bull. Soc. math. France, т. ; 5, стр. 163 - 173, 1907. Ср. также Lebesgue H., Sur Ia mfethode de М. Goursat pour la rgsolut on de l'equa-tion de Fredholm, там же, т. 36, стр. 3—19, 1909.
