Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
а) Ср. Kowalewski О., Einfuhrung in die Determinantentheorie, Leipaig 1909. Формулы Фредгольма
133
kPP -"kP Pu г ! r Ch
b b h PiPI PsPs • • • PiP.
k
PhPi
PhPt
.. k
pHPh
(W)
причем указатели р2, ... ,ph пробегают независимо значения от 1 до п и P1Os ... <ph.
Сумма определителей ДЛ (у, a (s)), очевидно, может быть записана
также в виде j Дh[$(t), a(sj\f(t)dl, так что решение (67) интегрального уравнения принимает форму:
<Р (S) =f(s) +X [ Iv (s, t, l)f(t) dt (62')
с резольвентой
A(?fl), а fr); t-,1)
(70)
Вместо того, чтобы в> формулах (69) суммировать, как указано, по сочетаниям из п элементов по h индексов 1, 2, ... ,п можно, разделив на h\, составить сумму по всем размещениям по h индексов, очевидно, также и с повторениями. После этого замечания, принимая во внимание определение величин kp , получим на основании простых теорем теории определителей формулы:
і D(s,t; X) = —A(?(0, a(s); Х)
= D0 (s, V--D1 (s, t)\ -f і D2 (s,
(__l)"-i
D (X) = Д (X)
= 1 —-
где
DAs, t)-.
Dk
(п — 1)1
1D1X+ !.D2X2
A (s, t) A (s, S1) A(svt) A (SvS1)
, (-1)" п\
A (s, sh) A (S1, sh)
(71)
A (sn, t) A (sh, S1) ... A (sh, sh)
Л (S1, S1) Л (S1, S2) ... Л (S1, Sft) A(s,, S1) A (s2, S2) ... A (s2, sh)
Dn^
ds1 ds2 ... dsk
ds1 ds2 ... dsh
A(ShlS1) A (sh,%) ... A(sh,sh) при A=I.....n и D0(s,t) = A (s, t).
(72) 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
Этим самым целые рациональные функции D (s, t; /.) и D (\) от >, выражены явно через ядро. Выражения (71) можно формально продолжить и в виде бесконечных рядов, ибо, как легко видеть, для выродив-
л
шегося ядра А (s, t) = ^ ар (s) (0 составленные по формулам (72)
p=і
величины Dh при Л>я и Dh(s,t) при я— 1 все исчезают.
Если теперь произвольное непрерывное ядро K{S, t) равномерно аппроксимируется последовательностью выродившихся ядер, то отн< ся-щиеся к ним выражения (72) сходятся к соответствующим детерминантам ядра K(s, t). Бесконечные ряды
D(s,t; Л) == D01(s, O-YidI (*. ')14- • • • > I
t ' t і (73)
причем теперь в выражениях (72) следует заменить А через К, представляют собою для иевыродившегося ядра K(s, t) целые трансцендентные функции. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что они сходятся при всех значениях Если при всех значениях s, t постоянно I K(s, t) I sS М, то на основании теоремы Адамара об оценке определителя (ср. гл. 1, § 5, 2) имеем:
I Dh (s, t) I < l/"(A-f-l)A+iMA+i (b — а)\
\Dh\^VttlMh(b — a)'1.
Так как ряды
со ,__f-,л со .Л
л=о h- ' h=\ h'
сходятся при всяком значении \ J) и являются мажорантами для рядов абсолютных величин членов вышеприведенных рядов (73), то наше утверждение доказано; из него же вытекает, что при всяком значении \
Iim D11 (я, f;l) = D (s, t; l), lim Dn(I) = D (I)
л-»CO 11 -* СО
в смысле равномерной сходимости, причем величины, с индексом я относятся к я-му аппроксимирующему выродившемуся ядру An(s,t), величины же без индекса — к ядру К (s, t). Таким образом, если только мы
') В самом деле -j^ < ^, так как в разложении eh имеется член —. Поэтому корень степени h из коэфициента при во втором ряду меньше, чем
M (b — а) е JL h'
и, стало быть, сходится к нулю при h со;. то же самое справедливо и для первого из вышеприведенных рядов. Формулы Фредгольма
135
имеем дело не с корнем X = Xi выражения D (к), то и резольвента ядра K(s, <):
D0(M)-^fl1(M)X+...
K(s, til) =--І-1—j-= lim Kn (s, t; 1) (74)
I-Id1^IO2P-... ^co
и с ее помощью получим для произвольного ядра K(s, t) следующую формулу решения интегрального уравнения:
<р (s) =/(5)+ x
і;
Х)/(0 dt.
(75)
Написанные выше формулы называют, по имени открывшего их ученого, формулами Фредгольма. Очевидна справедливость следующего соотношения:
dh=Ja^1 (s,
s)ds.
Далее, приведем формулу 1J:
D'(X) = —s;l)ds
и следующую общую формулу для производной порядка т:
D<*)(X) = (- 1)« [ • • • [ D ¦ ¦ ¦ ' Ч х) Os1 ds2 ... dsn
J J , Л2> ¦ • ¦ > am I /
где положено
' і \ / ^\h ' \ П I sV s2' • • • ' sm h, \-v li-l л (si' s^---- sm\
uKtv t2>... ,tjv-L* ні t2,...jm)
(76)
(77)
(78)
(79)
Dk (SV s2' • - • ' Sm\ .
V^ji t2,..., tm)
K (Sv *,) . . K(S1Jm) K(SvO1) .. K(SV Oh)
f K(S2J1). • K(S2Jm) K(SvO1).. K(S21Oh)
K(smJ,)- -K(SmJm) K(SmlO1).. K(sm,oh)
1 K(O1J1). .K (ov tm) K(O1,01).. K(ov oh)
K(OhJ1). --K(OhJm) K(OhlG1).. ¦ K(OhlOh)
(80)
rfOj, doi.....doh
Прибавим еще к этому, что собственные функции для корней \=\ выражения D(X) в случае простых полюсов можно получить, вычисляя в этих точках вычеты резольвенты К (s, t\ X). Доказательство этого легко получить, исходя из наших формул 3).
') Ср. Fredholm /. в указанном месте.
') Для дальнейших подробностей о формальном аппарате теории Фредгольма рр, например, Kowalewski О., Einfuhrung in die Determinantentheorie, Leipzig 1909. 136
Теория линейных интегральных уравнений
Гл. IH
§ 8. Новое обоснование теории.
