Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Приводим здесь несколько примеров интегральных уравнений с собственными значениями бесконечно большой кратности.
О cP- Neumann R., Die Entwicklung willkurlicher Funktionen nach den Hermiteschen und Laguerreschen Orthogonalfunktionen и т.д. Dissert, Breslau 1912. Дополнения и задачи к третьей главе
143
Из интегральной формулы
со / —_ш \ __
^sinstl ^^e JLe
о \ ' J '
тождественной относительно а, вытекает, что для основной области 0<:s,f<^co, ядро sins* имеет собственное значение X=I бесконечно большой кратности.
Эрмитовские ортогональные функции (ср. п. 1, в) являются собственными
і "
функциями ядра еш с собственными значениями—..-=!. Стало быть, каж-
Y 2п
дое из четырех значений -4---== , Ч—J= есть собственное значение
/2л V2n бесконечно большой кратности для этого ядра.
Пример интегрального уравнения с бесконечно большим числом собственных значений в конечном промежутке: Уравнение
+со
<р(S) = X j e-ls-'i f(t) dt
-co
at 1-4-a2
имеет решения е'1 s с собственными значениями X = —^—. Таким образом всякое X является собственным значением.
3. Метод Шмидта для вывода теорем Фредгольма2). Принимая X=I, приведем ядро K(s,t) к виду
K(s, O = ^aV WMO+ b(s, t),
¦> = і
причем (s, t)2 dsdt<^\, так что ряд Неймана для ядра k при X = I
сходится (ср. § 6), а стало быть, даст, согласно § 6, соответствующую ядру k (s, t) резольвенту у. (s, /). Написав интегральное уравнение (1) в форме:
Z1(S)=Ip(S)- ^ k(s,t)v(t)dt,
') Интегральные уравнения родственного типа рассматриваются в работе Гопфа: Hopf, Е. Ober lineare ntegralglelchungen mit positivem Kern, Sitzungsber. Aiad. Berlin (phys.-math. KI.), стр. 233 - 275, 1928 и в цитируемых там работах U. Wegner'a, Н. Н. Hardy и Е. С. Titchmarsh'a.
s) Schmidt Е. Zur Theoiie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Zweite Abhandlung: Auflosung der allgemeinen linearen Integralgleichung, Math. Ann., том 64, стр. 161-174, 1907. 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
где
п
/i (s) —f(s) 2 xV «v (s). •*, = (?, ?,),
V = I
мы имеем поэтому обратно:*
<Р (S) = / (5) + Z + f * (*' '> \f M + S а< WI dt>
v=l J L V = I J
или
h (S) =/(s) + I v. (s,t) Z (t) dt = If (S) - Jj^ av (S) ?v (t) 4- Y< (s)?v (t) J Cf(t) dt,
полагая
Yv(s) = Jz (S1X)Bt(T) dz.
Таким образом заданное интегральное уравнение сведено к инте гральному уравнению с выродившимся ядром.
4. Метод Энскога для решения симметрических интегральных уравнений1). Рассмотрим положительно определенное ядро K(s,t), первое собственное значение которого больше единицы, для которого, следовательно, при всякой функции If справедливо соотношение:
j"(f(s)2ds— ^Jk (s,t) <f(s)<f(t)dsdt> 0.
Интегральное уравнение (1) напишем, полагая X=I, в сокращенной форме f(s) = J(y), введя обозначение J(If) = If (s)— (j K(s,t)w (t) dt. Далее, построим какую-нибудь „полярную по отношению к ядру полную систему функций" W1(S), W2(S)1____ удовлетворяющую соотношениям:
1
V1 J (Vk) ds = ь1к (Ьи = 1, Sfk = O при іфк).
Такую систему можно получить из полной системы функций ifl, If2. .. способом, аналогичным процессу ортогонализации, описанному в гл. II,
§ 1. Положив av = [ if J (V.,) ds = ^ vv /ds, получим непосредственно
со
<? (S) — Z aV ^v (s) в предположении, что этот ряд равномерно сходится.
V = I
п
Кстати, для функции Wv выполняется „условие полноты" ^ ip (s) J [(f (s)J ds-
OO
= Z aI' как бы ни была выбрана кусочно-непрерывная функция if (s).
v=l
4 Enskog D., Kinetische Theorie der Vorgange in massig verdunnten Gasen,
Dissert., Uppsala 1917. Дополнения и задачи к третьей главе
145
5. Метод Ke л л о га для определен и.я собственных функций !). Исходя из произвольной нормированной функции <рр (s), определяем функции <pv (s) и числа Xv с помощью соотношений:
4>v+1 О ъ (о л, atcpv= 1.
Здесь можно выполнить предельный переход, дающий собственное, значение и соответствующую собственную функцию ядра или итерированного ядра. — Привести этот метод в связь с понятием асимптотического числа измерений и, следуя этим путем; провести рассмотрение вопроса.
6. Символические функции ядра и их собственные значения. Для операций, определенных с помощью ядра интегрального уравнения, справедливы соотношения, аналогичные тем, которые выведены в гл. I для матриц. Рассмотрим в частности целую рациональную
п
функцию f(u) = ^av «v, исчезающую при и = О, и заменим в ней
V = I
степени и соответствующими итерированными ядрами симметрического ядра К Мы получим тогда ядро:
п
V = I
Тогда справедлива следующая теорема: собственные функции <р ядра H тождественны с собственными функциями ядра к, а соответствующие характеристические числа ядра H связаны с характеристическими числами Xi ядра К равенством:
і?/==Ж)-
Действительно, непосредственная' проверка подтверждает, что собственная функция Ip1 ядра K(s, t), принадлежащая, собственному значению
\ = —, является вместе с тем собственной функцией ядра H(s;t) с ха-
