Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Чисто формально можно при симметрическом ядре искать решение в форме:
оо
V = I
где JTv = (/,cpv) — коэфициенты разложения функции / по собственным функциям ср,, ср2,... ядра. В том случае, когда этот ряд равномерна сходится, что вследствие возрастания чисел Xv налагает вообще ограничения на f(s), он действительно представляет решение уравнения (84).
В общем случае теорема Пикара ') дает необходимые и достаточные условия для разрешимости интегрального уравнения первого рода
f(s) = [K{s, t) ср (t) dt при произвольном (также и несимметрическом) ядре
и '
посредством функции ср (s), интегрируемой в смысле Лебега вместе со своим квадратом. Если Cpi, I1 Суть принадлежащие согласно п. 10 ядру K(s,t) пары взаимно сопряженных функций и соответствующие собственные значения, то для разрешимости вышеприведенного интегрального уравнения необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
Z^jV(S)?, (S) dsj.
12. Метод бесконечно большого числа Переменных. Пусть функции O1 (s), O2 (s),... представляют полную ортогональную систему для основной области. Положим Xi= (у, (O1), ft = (f, (O1), kpg= = ^Kis, t)i0p(s)<0g(t)dsdt. Тогда интегральное уравнение (1) тотчас приводи! к системе:
00
// ='*/ — Х ZкЧxJ (*' = 1. 2, 3*. . .)
і =I
і) Picard E., Sur un thdorferae gdneral relatif aux equations integrales de ргешібге
espfece et sur quelques problfcmes de physique matMmatique, Rend. Circ. mat. Palermo, т. 29, стр. 79—97, 1910. Дополнения и задачи к третьей главе
149
бесконечно большого числа линейных уравнений для бесконечно боль-
CO
шого числа неизвестных X1, х2, X3,...; при этом как ряды ^x? и
і-1 .
сс со
J4 fi, так и ряд У k'f; сходятся, что вытекает из, неравенства Бесселя. =i Ui =1
Теория решения этой системы уравнений дает тогда теоремы об интегральном уравнении (1).
13. Минимальные свойства собственных функций. Собственные функции Cp1, <р8,... симметрического ядра или обе Принадлежащие несимметрическому ядру ортогональные системы Ipi(S), ^i(S) и соответствующие собственные значения \ можно получить с помощью следующей задачи на минимум:Требуется аппроксимировать ядро K(s, t) выродившимся ядром
І=1 jV
таким образом, чтобы ^ ^ (К — An)2dsdt получил возможно меньшее значение. Показать, что решение дается формулами: Ф1==ь, V1 = ^1, Ai=V
14. Полярные интегральные уравнения. И для ядер вида K(s,t) = A(s) S(s, t), где S(s,t) симметрична, a A (s) непрерывна повсюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода, можно получить сходные результаты, как и для случая симметрического ядра. Обстоятельнее всего исследован пока "гот случай, когда S(s, t) — определенное ядро, и стало быть, имеет, скажем, исключительно положительные собственные значения. В этом случае, который исследовали Гильберт 1J и Гарбэ2), интегральное уравнение называется полярцым или уравнением третьего роОа. При, этом резольвента, как и для симметрических ядер, имеет только действительные и простые. полюсы, а для соответствующих вычетов, дающих „полярные собственные функции", справедлива теорема о разложении, подобная найденной Гильбертом для симметрических ядер. В частности," если итерированное ядро K^2Hs, t) не исчезает тождественно, то всегда существует по крайней мере одно собственное значение. Впрочем, теорема, что резольвента имеет только действительные и простые полюсьґ справедлива и в том случае, если функция S(s, t) предполагается только положительной; далее, справедлива также теорема: существует по крайней мере одно собственное значение, если функция 5 (s, t) положительна, а К(2> (s, t) не исчезает тождественно 3).
*) Hilbert D., Integralgle'chungen, гл. 15, где для, полярного интегрального уравнении положена в основу несколько другая форма.
2) Garbe E., Zur. Theorie der Integralgleichung dritter Art., Math. Ann., том 76. стр. 527 - 547, 1915. . •
3) Marty J., Sur une Equation integrale, С. R. Acad. sc. Paris, т. 150, стр. 515—518, 1910; Developpements suivant certaines sclutions singul^res, там же, стр. 603 —606; Existence de solutions singu^res pour certaines ёquations de Fredholm, там ж?, стр. 1031—1033. 1І6
Теория линейных йнтёГрй-йьных уравнений
Гл. IIl
15. Ядра, допускающие симметризацию1). Можно очень просто непосредственно охарактеризовать ядра, резольвента которых имеет лишь действительные и простые полюсы. Для того чтобы ядро K(s,t) обладало этим свойством, необходимо существование такого ядра
S(s, t), чтобы ядра ^S(s, т) К{т, t)d~ и \K(s, т) 5(т, tjdx были симметричны. О таких ядрах K(s, t) говорят, что они допускают симметризацию. Обратно, если для надлежащим образом выбранного положительно-определенного симметрического ядра S(s, t) по крайней мере один из вышеупомянутых интегралов представляет симметрическое ядро, то все полюсы, резольвенты ядра К(s, t) будут действительными и простыми.
16. Определение разрешающего ядра посредством функциональных уравнений. Доказать, что резольвента ядра однозначно определяется уравнениями (63).
17. Непрерывность определенных ядер. Доказать, что в области 0 =? s, t ^ 1 кусочно-непрерывное определенное симметрическое ядро K(s,t), непрерывное во всех точках s = t и имеющее непрерывные собственные функции, непрерывно вообще повсюду в области 0 г1.
