Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
1. Нахождение 2я-{-1 шаровых функций я-го порядка. К специальным шаровым функциям мы приходим с 'помощью часто применявшегося нами приема: мы полагаем F(&,ip) = /> (Cp)^1(S). Подставляя это выражение в диференциальное уравнение (73) при X = и (я-J- 1) и обозначая диференцирование по <р штрихом, а по & точкой, получаем:
р" (tp)_ (sin & q) sin & / ,
P(tP) q
я (я —J— 1) sin2» = —р,
где р должно быть постоянным числом. Мы получаем, следовательно, для q уравнение
^sino^j -f ^(я-J- 1)sin&— ^jtf=O
и должны определить в нем параметр р так, чтобы существовало решение, регулярное при o = 0 и при & = тг. Подстановкой г = cos & это уравнение преобразуется следующим образом:
[(1 -*»)?]'+ [и(я-J-l)-^] q = о,
где штрихом обозначается диференцирование по z и требуется найти решение, регулярное при Z=I и Z = — 1. С этой задачей в несколько ином виде mbi встречались в гл. V, § 10, п. 2, стр. 308. Мы знаем решения р = ZziC q = P„jh(z), причем Ptljh(Z) являются функциями Лежандра порядка h: §5
Шаровые фуніщии Лапласа
487
А может принимать значения 0,1, 2,..., я. Так как р определяется из уравнения р"(<$)-\- H2 р(у) = 0 в виде ah cos Asp + bh sin Asp, то мы получаем решение уравнения (73) в виде:
F (&,<р) = (ah cos Asp -f bh sin A(p) Pnh (cos &).
Следовательно, функция
a n
Vn = -Y- Pn(coso) + ? (anJl cos Asp + b„jh sin Asp) Pn>h (cos O) (74)
h=l
представляет шаровую функцию я-го измерения, зависящую от 2я—|— 1 произвольных линейных параметров; мы сейчас увидим, что это есть самая общ^я шаровая функция я-го порядка. Все функции cos Asp Pn h (cos &), sin Asp Pn h (cos &) линейно независимы между собой, так как они'попарно ортогональны. Мы будем называть их симметрическими шаровыми функциями п-го порядка.
2. Полнота полученной системы функций. Из теорем, доказанных нами раньше, непосредственно следует, что система функций cos Acp Pn J1 (cos &), sin Asp Pn ^ (cos &) представляет полную систему ортогональных 'функций на поверхности шара. Действительно, с одной стороны, функции sin Asp, cos Asp образуют полную систему функций относительно sp, с другой стороны, для каждого значения А функции Pnh(z) образуют полную систему функций относительно Z, так как система всех фундаментальных функций, получающихся в задаче на разыскание собственных значений, представляет всегда полную систему (гл. VI, § 3, п. 1). Теперь нам остается только вспомнить теорему гл. II, § 1, п. 6, которая содержит общее правило образования системы функций от двух переменных из систем функций, зависящих каждая только от одной переменной, для того чтобы убедиться в полноте нашей системы. Из этого результата непосредственно следует, что диференциальное уравнение (73) не может иметь никаких других фундаментальных функций, кроме указанных, и, следовательно, не имеет других собственных значений, кроме чисел вида п (п -}-1). Таким образом разрешены все вопросы, которые были поставлены раньше. Заметим, что таким путем мы получили трансцендентное доказательство того алгебраического факта, что существует ровно 2я -{-1 линейно независимых функций Vn,
Этот алгебраический факт можно; разумеется, легко доказать и чисто алгебраическим путем. Рассмотрим произвольную целую однородную функцию степени я от x,y,z:
U=^aritXr VsZt (/-+5+ t=n);
каждый коэфициент arst можно представить в виде произведения некоей
торого числового множителя на я-Ю частную производную 'd г d S^t '
Диференциальное уравнение Uaas= — иуу — игг дает нам возможность
Ъти .
заменить все частные производные - , в которых диференцирова-
()Х oy '' dZl
ниє по переменной X производится более одного раза, частными про- 488
Специальные функции
ГЛ. VII
изводными, в которых диференцирование по X производится не более
ъ3и д3И д3И
одного раза, например, —_ - _ .
Следовательно, при условии Ди = 0 все коэфициенты многочлена и являются линейными комбинациями коэфициеитов й00„, й01 „_J, •.., 0O я,0 flI О л-1> • • ¦> а1,я-1,0> которые могут быть выбраны произвольно.
'З. Теорема о разложении. На основании доказанных раньше (см., например, гл. V, § 14, п. 5) теорем мы можем утверждать, что любая непрерывная на поверхности шара и имеющая там непрерывные производные до второго порядка включительно функция g"(&,tp) может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по шаровым функциям:
оо я
?•(&, ?)= X Ко (cos0H-? (V* С05А? + \Л5ІпЛ?)Ря Л(cosd)l ,
л=0 Л=1
причем коэфициенты ап 0, anh, bnh определяются на основании формул гл. V, § 10, п. 2, стр.'308'соотношениями:
Tt Tt і ]¦],<»„
-Tt О
а"'°= ^r1 I Р"(cos o) sin odb d[?'
J J (cos &) cos Щ sm&o?8rf<p, (75)
_2л+1 (n — h)\
an,h - -^r- ¦ (я + А)!
—it 0 It Tt
^ = ?-1- ^ tP) pn.h (cos O) SinAtf sin bdbdy.
-Tt 0
Распространением этого результата на функции g (&, ip)более общего характера мы здесь заниматься не будем.
4. Интеграл Пуассона. Мы можем теперь написать решение краевой задачи теории потенциала для шара радиуса 1 с краевыми значениями g(u, ip) явно в следующем виде:
