Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
и 0 = Gn (г), о + Gn_, fo, 0
0 = Оя (ч, 0 - /HW2) Gn-. (ч, 0. на основании которых мы непосредственно заключаем, что Оя (4,0 = 0. О„_,(ч,О = 0.
Таким образом функции On и Gn^l равны нулю для всех пар значений тг),С. для которых г;2 + Z* ф 0, следовательно, они очевидно тождественно равны нулю. 496
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
Тем самым теорема Сильвестра, доказана Вместе с тем дано простое геометрическое истолкование осей мультиполя, соответствующего шаровой функции.
Что касается условий действительности, надо обратить внимание на то, что хотя при действительной функции H все общие образующие должны быть мнимыми, но что они являются попарно сопряженно-комплексными, следовательно существует одна и только одна возможность расположить их на п действительных плоскостях.
§ 6. Асимптотические разложения.
Bo многих случаях важно знать асимптотические выражения для наших функций при больших значениях входящих в них переменных или параметров. В предыдущей главе мы рассмотрели асимптотические выражения для штурм-лиувиллевских и бесселевых функций, ограничившись действительной областью изменения переменных. В этом параграфе мы ознакомимся с методами нахождения асимптотических выражений, которые по существу связаны с применением. комплексных переменных и комплексных интегралов.
1. Формула Стирлинга. В качестве первого примера асимптотических разложений рассмотрим формулу Стирлинга; при выводе ее обнаружится основной принцип доказательства, которым нам в дальнейшем неоднократно придется пользоваться, хотя применять интегрирования в комплексной области мы в данном случае не будем. При$>0 имеем:
оо
Г(5 + 1) =Jftrfcf -=
и
со
= ss+l J Tte-* dz (t = Si)
и
OO
= s*+* <Г * J е— (т-log ^d-Z=
о
со
= J e~smdr IZ(T)=T- 1 —logt)].
и
Подинтегральная функция в последнем интеграле при T = 1 имеет значение,, равное единице; при всех же остальных значениях г она с возрастанием s стремится к нулю. Мы можем поэтому ожидать, что значение нашего интеграла при достаточно больших s в основном зависит от значений подинтегральной функции в небольшой окрестности точки т=1. Соответственно этому мы заменяем наш интеграл интегралом, взятым в пределах от 1—є до 1-|-е (причем О-< , и прежде
*) Эта алгебраическая теорема была использована в указанном месте Сильвестром, причем он ее не доказывает. А. Островский указал на необходимость дать доказательство для этой теоремы. См. Ostrowski A., Mathematische Miszellen I. Die Maxwellsche Erzeugung der Kugelfunktionen, „Jahresber. deutsch. Mathem. Ver.", т. XXXIII, 1924. §6
Асимптотические разложения
497
всего оцениваем погрешность, которая получается при отбрасывании интегралов от 0 до 1—е и от 1 -J-е до оо. При=^t Cl имеем:
і
T - 1 - log T = j (1 - 1 j du ^ j (1 - и) du = ~ (- - 1)2 > -L (х- 1)2,
а пт I <'<4 имеем:
т — 1 — log т ¦ В интегралах
= | (t-i)«-
і
1-Е 4
[ е- -sZW di, f е-sf-VdT
«j _ J
і + =
мы заменяем подинтегральную функцию ее наибольшим значением, которое достигается соответственно в точках 1 — s и 1 -J- є, а это значе-
ниє в свою очередь — верхней гранью є 8 . Таким путем получаем:
1 -е 4
W-
_?fl :4е 8 .
о 1-й При TSs 4 имеем:
, , Зт ,
1 — 1 - Iogt^ ^-Iogt >- ;
поэтому при s>4
оо оо
Г Г л _ д*
j e_j(T_i_logT)rfT<^ j е~т dx<e~s <е 8.
_ 2
Если выберем теперь є =S 5 , то получим:
1-Й ^ і
Л-'-іГ (5 -f 1)=J Є-SfVdT -f О (е- "" * * ) 1L
I —"е х
Чтобы приближенно вычислить интеграл, стоящий в правой части, мы будем опираться на соотношение:
/(T) = +(T-I)^(T),
13
в котором (J) (т) означает регулярную функцию в интервале - - < т sg ,
») Здесь обозначение О [?(¦$)] имеет то же значение, что и в гл. V, § 11, 32 Курант-Гильберг. 498
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
абсолютное значение которой не превосходит некоторой конечной грани М. Из этого соотношения мы выводим заключение, что при 1 —єT1 —J— є имеют место неравенства:
W 5(7-1)5 „і
--— Ms й . ,, . — --- Ms 5
Є 2 Є -sJW ^.е 2 Є
и далее, что
Отсюда получаем
1 +е ] -и ли»
Т. Є.
Sf (-) =е 11 О (s » ) J •
- '-Л
5)]j'c 2 du =
1-е —S
(85) следователь :о,-
1(5+1)?/^-'. (86)
2. Асимптотическое вычисление функций Ганкеля и Бесселя для больших значений аргументов. Подобным же образом мы можем вычислить асимптотически функцию Ганкеля Hj (z) TT TT
внутри угла— — -\-Ь arg z — ^ для больших | г', пользуясь интегралом:
him= ——;,. - y":w -1) 'лх
(см. § 2, п. 5), взятым по пути, изображенному справа на черт. 12,
TT Tt
причем--— arg?< — , и, кроме того, мы принимаем, что log (т2 — 1)
при т]>1 имеет действительные значения. Не изменяя значения интеграла, мы можем повернуть разрезы и путь, идущий вдоль одного из этих разрезов, в плоскости т так, чтобы их направление образовало Асимптотические разложения
499
с осью X угол ^--argz. Примёним подстановку
?
і ¦ и T — 1 i= I --,
Z
тогда плоскость и окажется разрезанной вдоль двух горизонтальных лучей, идущих вправо соответственно из точек 0 и 2z'v, новый путь интегрирования окружает разрез, идущий вдоль положительной части действительной оси, причем в верхней полуплоскости путь пробегается
