Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 189

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 183 184 185 186 187 188 < 189 > 190 191 192 193 194 195 .. 202 >> Следующая


°° Г ¦ 1

и = Vr" ап>о Pn (cos &)+ V (а п, H cos hip -j- ЬпЛ sin hip) Pn h (cos o) я=о L л=і J

В силу равномерной сходимости при /"<>„<; 1 мы можем, вводя интегральные выражения (75), изменить порядок суммирования и интегрирования. Тогда можно просуммировать в конечной форме; для этого удобнее всего принять & = 0 и (р = 0 и заметить, что вследствие произвольности выбора северного полюса на поверхности шара результат должен иметь место для произвольной точки Э, <р на поверхности шара. Так как Pn(I) = I, Pn>h (1) = 0 (A= 1,2,.. .,я), мы получаем:

Я Я ( OO ^

4тт и (/-,0,0) = J J j ? (2я+1) г" Pn (cos &) [ g (O, is) sin o rfo dtp,

-JtO (n=Q ) §5

Шаровые фуніщии Лапласа

489

и здесь можно выполнить суммирование, если воспользоваться соотношением

oo j _a2

2 (2л + Dhnpn (z)= {l_2hz + h2fla, которое выводится из равенства, определяющего полиномы Лежандра,

od

У hn Pn (z) = (1 — 2hz -f- и из равенства, получающегося из него

л=0

диференцированием по к.

После того как суммирование выполнено, мы можем представить себе полюс перенесенным и пишем результат в общем виде:

4им (г, O, <р) =

71 71

—л U

Этот интеграл, называемый интегралом Пуассона, выражает гармоническую функцию' внутри шара с помощью значений ее на поверхности и не содержит явно шаровых функций. Во втором томе мы еще вернемся к этому интегралу н выясним его значение для теории потенциала.

5. Выражение шаровых функций Максвелла-Сильве-стра. Совершенно иное выражение для шаровых функций, связанное с физическим значением потенциала, дал Максвелл1). Мы здесь исследуем шаровые функции, руководствуясь основной идеей Максвелла и дополнительным замечанием Сильвестра, и получим таким образом новое изложение теории этих функций.

Мы берем за исходный пункт основной потенциал — = . —,

Г YX2 -f у2 -f 22

соответствующий единичной массе, сосредоточенной в начале координат,

/ і в . ч

и замечаем, что производная v = в (я = a -f- р -f- у) потенциаль-

оЛ ду dZ*

ной функции и также удовлетворяет уравнению Af = O. В самом деле, диференцированием получаем из равенства Дм=-0:

П dA А

О = — Д« = Д — длг ах

и т. д. Поэтому и функция

'(т) »GL >(т)

а —--Ь~~ 4- с ,

Ъх 1 Ъг

где a, b и с — постоянные, представляет гармоническую функцию.

і) „А Treatise on Electricity and Magnetism", т. 1, изд. 2-е, стр. 179-214,

Oxford 1881. 490

Специальные фуіікЦий

Гл. VlI

Запишем ее, пользуясь символической линейной формой:

Ьх Ъу '



в виде L I — J или также в виде

а

д

av

причем а = У а2 -j-^.-j-c2, a ^ означает диференцирование по направлению V, направляющие косинусы которого пропорциональны числам a, b и с 1J. Этот потенциал, физически говоря, соответствует биполю момента а и направления v. Вообще

{77)

представляет потенциальную функцию, соответствующую „мультиполю" с осями V11V2,___,vn. При этом L1 означают линейные формы относи-

тельно операторов — , —, —, и коэфициенты ИХ Cz, D1, C1 определяют аХ оу oZ

направления осей Vi. Легко видеть, что потенциал и имеет вид:

u = Un-(x,y,z,)r-*"-\ (78)

где Un есть целая рациональная однородная функция степени п относительно X, у, z. Функция Un также удовлетворяет уравнению Д?/я = 0, что вытекает из следующей „общей теоремы: одновременно с функцией и (х, у, z) является решением уравнения Лапласа функция

-L (?. У. іЛ

г " [г2 ' г2' г2J

2)

Полученные таким образом функции Un(x,y,z) представляют прн /¦= 1 согласно нашим прежним определениям {гл. V, § 9, п. 1, стр. 299) шаровые функции я-го порядка.

Так как каждое из встречающихся в формуле (77) п направлений характеризуется при помощи двух параметров и, кроме того, в потенциал и входит еще произвольный постоянный множитель, то в общем мы имеем 2« -j— 1 произвольных постоянных. Естественно поэтому ожидать, что в виде (77) могут быть представлены все шаровые функции

0 Если допустить, что я, бис могут принимать и комплексные значения, то для тех значений а, Ь, с, для которых_й2 + е- — 0, нужно соблюдать необходимую предосторожность.

2) Доказательство этой теоремы просто получается, если уравнение Лапласа преобразовать к полярным координатам (см. гл. IV, § 8, п. 2, стр. 217). §5

Шаровые фуніщии Лапласа

491

п-го порядка. Строгое доказательство этого положения мы проведем следующим образом: прежде всего представим 2п-\-\ линейно независимых симметричных шаровых функций Ptlth (cos o) cos hy,Pnh (tos Ъ) sin Atp в виде потенциалов мультиполей. Отсюда непосредственно следует, что любая шаровая функция п-то порядка выражается в виде суммы потенциалов мультиполей. Наконец, мы докажем, что каждая такая сумма равна потенциалу мультиполя, который мы можем получить при помощи простого геометрического построения. Симметричные шаровые функции легко получить, рассматривая симметричные мультиполи. Пусть имеем п осей с направлениями V1, V2,...,Vn в плоскости х, у, расположен-

2п

ных симметрично так, что каждые две соседних образуют угол —. Полагая ~п
Предыдущая << 1 .. 183 184 185 186 187 188 < 189 > 190 191 192 193 194 195 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed