Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
г -(- Vz2 — 1 cos (р обращается в нуль на пути интегрирования. Следовательно, По крайней мере одно из них имеет место во всей ПЛОСКОСТИ 2".
3. Функции Лежандра второго рода. Диференциальное уравнение (48) должно кроме P^ (z), иметь еще один линейно независимый интеграл. Мы можем его легко получить из интеграла Шлефли, если вместо прежнего пути выберем другой путь интегрирования. Такой путь дается кривой Si, имеющей вид восьмерки, ¦ изображенной на черт. 13, если только точка z остается вне этой кривой. Определенная с помощью интеграла
1 С і (П — 1>
о
аналитическая функция Qy(z) также удовлетворяет диференциальному уравнению Лежандра. Она называется функцией Лежандра второго рода и представляет однозначную и регулярную функцию в плоскости 2, взрезанной вдоль действительной оси от — 1 до — со. В этом выражении мы сперва предполагаем, что v не является целым числом, так как в противном случае выбранный нами нормирующий множитель
-- становится бесконечным. Если действительная часть числа v -4-1
Sin VTT 1
имеет положительное значение и г не лежит в промежутке — 1 ^ Z =? 1,
то мы можем, стягивая путь интегрирования, написать (ср. вычисления
на стр. 461):
(53)
-і
Эта формула применима и для целых значений v.
Из выражения (52) "легко заключить, что функция Qv при Z= 1 и Z=—1 становится логарифмически бесконечной, если принять во внимание, что путь Sl пересекает линии, соединяющие точку Z с точками — 1 и -j- 1. Для отрицательных значений v или для значений v с отрицательной действительной частью можно определить Qv с помощью равенства:
Q,(*) = Q_v_a(z).
И для функций Qv (z) имеет место интегральное выражение, аналогичное интегралам Лапласа для Pv (z). Сделав в интеграле (53), сперва при действительных значениях z^> 1, подстановку:
ef PrZ+I-Vz-1
ev — yTz+l+Vz—X мы после некоторых вычислений получим:
OO §4
Применение метода интегральных преобразований
481
причем выбор однозначной ветви подинтегральной функции, которая сама по себе многозначна', производится таким же образом, как и раньше. Но эта формула справедлива для любых значений z в разрезанной от — 1 до -)-1 плоскости z, за исключением, в случае v ^= О, тех значений, при которых знаменатель на пути интегрирования обращается в нуль; знакомый с теорией функций читатель непосредственно выведет это заключение из того факта, что подинтегральное выражение в этой области представляет однозначную регулярную функцию от z.
Из равенства QV = Q_V_1 мы непосредственно получаем вторую формулу:
со _
Qv (г) = J (z-\~ V* -Ich ^rftp (v<0), (55)
о
причем в случае v^ — 1 мы опять должны сделать указанное раньше предположение относительно значений z.
4. Сопряженные шаровые функции. (Функции Лежандра высшего порядка.) Для шаровых функций высшего порядка, которые мы определяем с помощью равенств (см. гл. V, § 10, п. 2, стр. 309):
•_ dh
Q„h(z) = (V\-z'i)h ^hQAz),
мы путем диференцирования интеграла Шлефли (47) и затем с по
мощью подстановки Z = z-j-jz2— 112 е">1 из п. 2 получаем интегральные выражения, из которых мы приведем следующее:
it
Р* (Z) = (— 1 )h (v+l)(v + 2)...(v4-*) cos ? )v cos ^
0
Из этой формулы мы видим, например, что все функции Pv h(z), где h > 0, при Z =?= 1 равны нулюї
§ 4. Применение метода интегральных преобразований к днференциальным уравнениям лежандра, чевышева,
Эрмита и Лагерра.
Мы можем развить теорию диференциального уравнения Лежандра и теорию рассмотренных во второй главе ортогональных функций также с помощью метода интегрального преобразования, изложенного в § 1. Наметим здесь в общих чертах этот путь.
1. Функции Лежандра. В диференциальном уравнении Лежандра
L[u] = ( 1 — Z2)«".—2ги' = —.X(X-J-I)M (56)
31
Курант-Гидьберт. 482
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
преобразование
и (Z) =Д к (г, о V (Z) dZ
приводит к условию
J [(1 — z2) Кгг—2zKz -f I (I -f \)К] v(Z)dZ = 0. с
Если ядро преобразования подчинить1 диференциальному уравнению, (1 - г2) Kzz- 2ZKz + Z (ZK)r, = 0, (57)
1
решением которого является функция K=-
, и преобра-
VX-tIzZjrV
зовать интеграл, получающийся заменой L [К] через — С (ZK) хг, при помощи интегрирования по частям, то для функции v (Z) получаем диференциальное уравнение:
Z(vZ)"-IQ,+ Vv = O, которое имеет решения V=Zk и = Мы приходим, таким обра-
зом, к интегралам:
P1, (Z) =— I —dZ,
Ci
__1 Г_Z-
с.
-).-1
2zZ + Z
'dZ,
(58)
)
где C1 и C2 представляют изображенные на черт. 15 и 16 кривые, находящиеся на римановой поверхности подинтегрального выражения.
Z1=Z-f-/z2—l
Z2 = Z-V^zrI
Черт. 16.
Черт. 15.
При помощи преобразования
Z = z -J- VrZ2-1 COS (?
и соответствующей деформации пути интегрирования мы получаем интегралы Лапласа:
ли
Z2 — 1 cos <р)-),_1 dy,
(51)
оо
Qx(Z) = J (г+Vi с
1 ch ср)
dlр (>>— 1). (54) §4
Применение метода. интегральных преобразований
483
Выбранное нами ядро
