Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
(aYtt 1
г» Я!Г(«-Н + 1)*
Так как X имеет действительное значение, то Г/г —X —|— 1 имеет для всс? п, за исключением конечного числа, положительные значения; так как, далее, гамма-функция имеет пди положительных значениях аргумента положительные значения, то все коэфициенты ряда, за исключен нием конечного числа в начале ряда, положительны! При больших значениях I а I преобладающее влияние имеют более высокие степени, кроме
(а \2Я J (z)
>0, следовательно, > 0 при всех.
J (г)
достаточно больших значениях | а |. Итак, корни функции ----- - могут
Z
J (z)
встречаться гилько на конечном отрезке мнимой оси; поэтому —Ц—
Zk
как целая трансцендентная функция может иметь только конечное число
J (z)
чисто мнимых корней. При X > — 1 функция —— не и10жєт иметь чи«
ZK
сто мнимых корней, так как в этом случае для всех значений п имеем: и + Х-|-1->0, Г(Х + и+1)>0;
все коэфициенты ряда имеют, следовательно, положительные значения, а потому и сумма ряда положительна* В частности при X = 0, 1,2,»..-не существует чисто мнимых корней.
Итак, имеем следующий результат: при действительных значениях X функция Jx(z) может иметь только конечное число чисто мнимых корней; при Х> — 1 функция Jx (z) имеет только вещественные кор/іи.
Что функция Jx(z) имеет при целом положительном значении X бесчисленное, множество вещественных корней, доказано уже рассмотрениями предыдущей главы, так как корни Jn (z) представляют систему собственных значений диференциального уравнения.
В заключение скажем еще о расположении действительных корней бесселевых функций.472
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
Полагая при действительном значении >
J1(Z) = VZ1,
Zk
имеем (см. стр. 454):
zv"-\-(2l\-\)v'~\-zv = 0. (17)
Если S еСть положительный корень производной v', то диференциальное уравнение при Z = S переходит в
(S)-f-Sf(S) = O, Т" ' г>" (S)-f® (S) = O.
Отсюда следует, что в точке ? не может обращаться в нуль также вторая производная Vtr(Z), ибо в противном случае и значение v (S) равнялось бы нулю, но из условий V (S) = 0 и v' (S) = 0 вытекало бы, что решение v(z) уравнения (17) тождественно равно нулю. Поэтому v" (S) и V (S) имеют разные знаки.
Пусть S1 и S2 (> S1)—два последовательных положительных корня производной V1(Z), т. е. пусть ®'(2:)ф0 при S1 < Z < S2. По теореме Ролля в промежутке между S1 и S2 лежит нечетное число корней v"; следовательно, v" (S1) и v" (S2)1 а вместе с тем и ®(S,) и W(S2) имеют разные знаки. Следовательно, между S1 и C2 должно лежать нечетное число корней функции v(z), т. е. по крайней мере один корень. С другой стороны, на основании теоремы Ролля в этом промежутке может лежать только один корень v, так как между двумя последовательными корнями функции V должно лежать нечетное число корней производной v\ но і) по условию не имеет корней между S1 и S2. Итак, между S1 и S2 функция V имеет только один корень, т. е. между двумя последовательными положительными корнями производной tf лежит один и только один корень функции v. Положительные корни V и i? взаимно отделяют друг*друга.-, то же справедливо и для отрицательных корней.
Мы вывели в п. 7 стр. 463 соотношение:
d J1(Z) _ Л+1 (Z)
dz Zk.' zk '
т. е.
Так как корни функции v и корни ее производной v' взаимно отделяют друг друга и так как, далее,
V=jAzA vi—_A+ilf)
Zk ' Zx
и потому все положительные и отрицательные корни V и if являются соответственно корнями функций Jx(z) и (z), то мы имеем: корни функции J1(Z) и корни функции Jx^1 (Z) взаимно отделяют друг друга.§2 Функции Бес селя
473
При X =— Y > мь1' напРимеР. нашли:
-7- 4(z)=Vhcos jI {z)=Vhsin
корі—ми первой функции являются числа:
тт Зтт 5тг (2я —1) тг
— 2"' — У' — 2"' ""' ' — 2
корнями второй:
О, ±7Г, ±2тт, ..., +ятт,...;
действительно, эти корни взаимно отделяют друг друга.
И в этом отношении функции Бесселя обнаруживают сходство с тригонометрическими функциями.
9. Функции Неймана. Если X не является целым числом, то из соотношений:
Jx(z) = ^ [Hl (Z) Hl(Z)], (5)
¦L, (Z) = ~ [е^ Н{ (Z) + Щ (Z)] (7)
можно определить Hl(z) и Щ(г). Мы получаем:
Щ (*)=- I^nYn(z) е~а* ~ ¦'->{z)]' (38)
(z)^іШтг[Л {z)е'УК- {z)]' (38,)
и вместе с тем
Nx(Z) = I1 [HI (Z)-HI(Z)1 = . (39).
Однако это, выражение неймановой функции с помощью Jx (z) и J_х (z) неприменимо, когда X есть целое число. В самом деле тогда и числитель Jx cosXtt— J_x, рассматриваемый как функция от X, и знаменатель sin Хтг обращаются в нуль, причем X является простым корнем этих функций. Но так как числитель при -г ф О и знаменатель являются аналитическими функциями от X, то мы имеем право диференцировать числитель и знаменатель, чтобы найти значение функций Nx(z) при целом значении X. Переходя к пределу в частном
U1(Z) , f , ч . й./ ,(Z)
—-1- cos Хтг — Jx (z) тг sin Xn--
ол оХ
ті cos Xtt
находим, что при целом X
474
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
Легко непосредственно проверить, что полученное выражение является' при целых значениях X решением диференциального уравнения. В самом деле, диференцируя диференциальное уравнение Бесселя