Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
X = rcoso, = /*sin & и рассматриваем функцию:
g(x,y)=f(r)^\
которая в силу наших допущений относительно функции f(r) непрерывна и имеет кусочно-непрерывные производные повсюду за исключением окрестности начала координат. Применяя к этой функции g(x, у) интегральную теорему Фурь'ё для случая двух измерений (см. гл. II, § 6, п. 2) и изменяя порядок интегрирования двух внутренних интегралов, что требует, конечно, строгого обоснования, получим:
CO CO OO 00
g(x, у) = j e'Cf+^O du dz> J Jg-(S, I1) dZ drt.
— CO—CO —CO-CO
Вводя также для переменных интегрирования S, jj; и, v полярные координаты:
? = s cos а, и = t cos ?, і] = s sin a, © = *sin?,
получим:
CO я OO я
f(r)emb = ~ ^tdt ^eirtJs/ (S) ds^eime
O —ти О —я
Применяя подстановку
a ? = a' ~
и принимая во внимание периодичность показательной функции, приводим это выражение к виду:
со л со л
f(r) еіаЬ=j tdt j" Є-irtun J Sf(S) ds J e- ^sinda!;
O —я 0—n
выполнив при помощи формулы (10) интегрирования по а' и по ?', непосредственно получаем требуемое соотношение:
OO ' OO
f(r) = Г Un (rt) dt j Sf(S) Jn (St) ds. о о
Вместо того чтобы доказывать законность изменения порядка интегри- §2
Функции Бес селя
469
рования, мы можем вести доказательство формулы (33) также следующим способом, аналогичным методу доказательства интегральной формулы Фурье (гл. II, § 6). Мы пользуемся соотношением, имеющим место для любой кусочно-гладкой и обращающейся в нуль при г= 0 функции /(/¦):
а
/(г) = Iim (V(S) Pe (s, r)ds,
° (34)
PJs1 г) U11 (st) JJrt) dt,
о
где а есть произвольное положительное число 0. Это соотно-
шение вполне соответствует интегралу Дирихле (гл. II) и аналогичным образом доказывается. Мы покажем, что при условии существования
оо
интеграла ^r \f(r) | dr интегрирование по s можно распространить до о
бесконечности. В самом деле, из тождества
Pvir^)=^^{sJn{vr)Jn^(vs)-rJH{vs)Jn^(vr)} (гфв), (35)
которое вытекает из формулы (36) следующего пункта, если принять во внимание рекуррентную формулу (24), следует, что Pv (г, s) при постоянном значении гфО с возрастанием s стремится к нулю равномерно бтносительно V (можно воспользоваться, например, асимптотическими разложениями бесселевых функций, см. гл. V, § 11, п. 2 или гл. VII, § 6, п. 2). Поэтому и интеграл
ь
JV(s) sids
а
может быть сделан путем выбора достаточно большого значения а сколь угодно малым и притом равномерно относительно v и Ъ. Отсюда следует наше утверждение, т.-е. правильность формулы (33).
8. Нули бесселевых функций. В заключение выведем еще несколько теорем относительно нулей бесселевых функций1).
Бесселева функция Jx (z) удовлетворяет диференциальному уравнению.
±lz W + (1 -?)A(^)=O-
Полагая
г = S1Z, S1 = const ф О,
имеем:
К MJ[ M + (1 - Л M=0.
*) См, также аналогичные рассуждения в гл, VI, § 2, п. 4.. 470
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
Подобным же образом, полагая
z=-Z2t, S2 = construct,
имеем:
J", (SiO+Q Л M -H (1 - -р) Л M=о.
Из этих двух уравнений выведем новое уравнение, умножая первое на Z2JJ1(Z2I), второе на — ЩJx(S1O и складывая. Получаем:
t J'; (Z1I) Jx (Z2I) - s* Jx(Zj) Jx (S1/)] +
+ вЛ (M) Л M - Vl (S2 0 Л (^iO] +
Сумма первых двух слагаемых представляет производную по t от функции
t [Si-/; (S1OA (S2O - S2-/;. (S2O Л Ml:
интегрируя последнее равенство в пределах от 0 до t, находим поэтому:
* IS1 ^ (S1 о a (S2o - s2 a (S2/) л (S1O]+(S? - Ф (*а (S1O л Mл=о. (зе>
о
Следовательно, интегрируя в пределах от 0 до 1, получим:
і
[S1^(S1)A(S2)-S2A (S2)A(S1)] + (Ц-Ц) f tA(S1OA(S2O^=O. (37)
о
Из этого уравнения мы можем сделать заключение относительно распределения корней функции Jx(Z) (см. гл. VI, § 6).
Пусть S есть отличный от нуля корень функции A (z). Полагаем S1 = S, S2 = S, где S означает число, сопряженное с S. Следовательно, S1 и S2 совпадают только для действительных значений S.
Пусть \ имеет действительное значение, тогда при действительных значениях Z функция Jx (z) также имеет действительные значения. Коэфициенты степенного ряда (21) имеют действительные значения; поэтому, если A(S) равно нулю, то и A (S) = 0. Следовательно, в уравнении (37) мы должны положить А (Si) = A (S2) = 0; тогда выражение в квадратных скобках обращается в нуль, и второе слагаемое принимает вид:
і
(S2-S2) f/|A(S0l2<ft = 0.
о
Мы предположили, что S не равно нулю. Так как бесселева функция
і
Г'
не равна тождественно нулю, то \^t | Jx (Zt) |2 dt ф 0, следовательно,
S2-S2=(S—S)(S + S)=0, §2 Функции Бес селя
471
т. е. S = S или S = — S • Таким образом S есть либо действительное число, либо чисто мнимое. Итак, при действительных значениях Х>—1 бесселева функция Jx (z) может иметь только действительные или чисто мнимые корни.
Чтобы исследовать, как обстоит дело с чисто мнимыми корнями бесселевых функций, мы исходим из разложения в степенной ряд:
А(г) = іу (-1)" / * V" 1
Z* я! V2; Г(« + Х+1)'
Полагая z=ai, где а — действительное число, не равное нулю, имеем!
