Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Курант Р. -> "Методы математической физики Том 1" -> 184

Методы математической физики Том 1 - Курант Р.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики Том 1 — Высшая школа, 1966. — 538 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatemat1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 178 179 180 181 182 183 < 184 > 185 186 187 188 189 190 .. 202 >> Следующая


dz2 1 ^ dz

которое представляет тождество относительно X, по X, получаем: d' ZJy(Z) 1 d VJz) / *2\дЛ._2Х

tZdz ЙХ iV T*) & ~ z*A{z)-

Подобным же образом для —X имеем:

d» d/jx(Z) 1 d iJ_Az) , /, X2 \ х(г) 2Х

------------г — —S--Г 1--~2 —S— = -ZS л W-

rfz2 а

Умножаем обе части второго уравнения на (—I)*1 и вычитаем из первого уравнения, тогда в силу соотношения J1 (z) = (—1 )xJ_x(z), имеющего место при целых значениях X, правая часть результирующего уравнения будет равна нулю; следовательно, решением диференциаль-ногЬ уравнения Бесселя при целом X будет также функция

— (- 1)' ^?^ = "/Vx (Z) (X - целое число). оХ о/.

Только что выведенные соотношения между функцией Нейманй Nx(z) и функциями J1(Z) и J_x(z) дают нам возможность находить при помощи выражений для бесселевых функций соответствующие выражения для N1(Z). Так, например, из интегрального выражения (9) при Хфя получаем:

N1 (Z) = — 2п Jn ^ j* ?-:/2 sin с(g« cos — е-«) dt,', (41)

L

при X== п имеем:

Nn (Z) = — ^ j Ze-iz sin' cos nZ dZ (n — четное), (42)

L

Nn (z) = -L j* ^g-issin'. sin d? (я _ нечетное). (42')

L

Применяя интегральную формулу (20) из п. 5, получаем, например, для N0(z), ввиду того, что

N0(Z) =

формулу:

^ [МЛ

- \» Lo'

UN0 (Z) = 2 (С+ log 2) J0(Z) + I cos (z cos Z) log (z sin2 Z) dZ, (43)

где С есть постоянная Эйлера. §2 Функции Бес селя

475

Подобным же образом можно получить разложение в ряд для Ny (z) из разложений для J1 (z) и J y (z). Рассмотрим ближе тот случай, когда X целое число. Имеем:

так как мы имеем право диференцировать под знаком суммы по X, то получаем:

—-і"Яа-^+Ы ijirUj І

а

х+1

aT^) , (Z)-IzA zTId-^-)

(44)

Определим прежде всего значения производных V, -,.77: при целых

at 1(f)

значениях t. Из функционального соотношения

Г(< +1) = <Г(0 (*ф0, ~1, -2, ...) путем логарифмического диференцирования получаем:

Г«+1)= * , Г'(0 Г(*+1) <Ч"Г(/)-

Применяя эту формулу k раз, имеем:

H* + *+1).....- 1I1I +I4-r^ (Ь0 1 2 )

Ht + k+i) ~< + й + t + k— 1 t + Г(*) (A-U' 1S

Далее,

d __І Г' (t)

dtT(t)~ V2(t)~ T(t)'T(i)'

Полагая в предыдущей формуле / = 1, k = n—1, получаем:

Г'(«4-і)_і , і , 4 P(i)_ t ї

+ ^Л+ • • • +1 + Г(іу-TT+ /T=TT+ • • • +1 _с

Г '(Л

для п= 1, 2, 3,... Зная значения -утї\ для нелых положительных

I (T)

значений t, мы вместе с тем знаем искомые значения производ-d 1

нои тг.гтт^ в этих точках: dt 1 (t)

[dtT(t))

= C,

/=і

d \__ 1 Г 1__, J____1

dtT(t)~ (t— l)ih — 1 + t — 2+'--^ 1 6J

при t = 2, 3,... 476

Специальные функции

Гл. VII

Чтобы найти значения производной при целых отрицательных значениях Z, мы решим уравнение:

1 . 1



относительно

Г'(О

Г (Z)

t + k 1 z-\-k

. Умножая затем обе части на

1 ^r " t ^ T(t)

T(t)'

получим:

j_ r^ ^ l f±_l j__l

г (О Г (о Г(<)\* "П-н"*"

1

t-\-k



t-\-k\

PjH-H-J) Г(0 r(f + A + l)

"Если будем теперь неограниченно приближать Z к —& (&=0, 1,2,...), то левая часть равенства, а следовательно и правая будет, стремиться

к значению производной

(

d 1

-k выражение

1

V dtT(t])^_k- Но прн 1 " —г(Z) стремится к нулю, следовательно, в правой части остается только

11 1.1,.1

член ЇГ7ТТ • -гг—г, так как сумма — -}- -J- ... -}- -- и выра-

I1(Z) t-\-k ' P (t + k 4- 1)

Z 1 t-\-1 1 '"' 1 t-\-k— 1

жение vrri—і—і—, - имеют конечные значения. Умножив числитель и 1 (Z-J-ft-f-l)

знаменатель остающегося члена на Z (Z -f- 1) ... (Z-f- k — 1) и приняв во внимание функциональное уравнение для гамма-функции, получим, что знаменатель равен T(Z-}-&-|-l) и стремится при Z--*—k к Г(1) = 1; так как числитель стремится при этом к (—1)?!, то:





t——k

Подставив значения производной (44), мы при X = 1,2,... получаем:

A

HtfJt)

для целых значений Z в ряды



Ъ1

V Х /!= О

I1 I 1 I
u 1 x-i 1

...+ 1

}



п=\

\ п-\

я! (« + *)!;



+

« + Х-

т + ... +1+-4—Ц + ... +

1 1 1 п п — I1 1

(45) Шаровые функции Лежандра

477

а при X = O имеем:

тг TV0 (Z) = 2 Jg(Z) (log -J + с)-

Последние разложения позволяют нам выяснить характер особых точек, которые могут встретиться в решениях диференциального уравнения Бесселя.

Если не считать точки z=oо, которая является существенной особой точкой для любого решения, не обращающегося тождественно в нуль, единственной особой точкой решений диференциального уравнения Бесселя может служить точка Z=0.

Если X не является целым числом, JO общее решение можно представить с помощью функций Jx(z) и J_x(z), и потому при Z = O могут встретиться только особенности вида Zx или z~K

Если X равно целому числу п, то решения могут иметь при Z = 0, кроме полюса порядка п, 'еще логарифмическую особенность вида znlogz. В самом деле любое решение можно выразить как линейную комбинацию функций Jn(z) и Nn(z), а эти функции других особенностей ие имеют.

В частности бесселевы функции Jn(z) с целочисленным индексом п представляют решения, которые остаются регулярными и в точке z = 0.
Предыдущая << 1 .. 178 179 180 181 182 183 < 184 > 185 186 187 188 189 190 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed