Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
dz2 1 ^ dz
которое представляет тождество относительно X, по X, получаем: d' ZJy(Z) 1 d VJz) / *2\дЛ._2Х
tZdz ЙХ iV T*) & ~ z*A{z)-
Подобным же образом для —X имеем:
d» d/jx(Z) 1 d iJ_Az) , /, X2 \ х(г) 2Х
------------г — —S--Г 1--~2 —S— = -ZS л W-
rfz2 а
Умножаем обе части второго уравнения на (—I)*1 и вычитаем из первого уравнения, тогда в силу соотношения J1 (z) = (—1 )xJ_x(z), имеющего место при целых значениях X, правая часть результирующего уравнения будет равна нулю; следовательно, решением диференциаль-ногЬ уравнения Бесселя при целом X будет также функция
— (- 1)' ^?^ = "/Vx (Z) (X - целое число). оХ о/.
Только что выведенные соотношения между функцией Нейманй Nx(z) и функциями J1(Z) и J_x(z) дают нам возможность находить при помощи выражений для бесселевых функций соответствующие выражения для N1(Z). Так, например, из интегрального выражения (9) при Хфя получаем:
N1 (Z) = — 2п Jn ^ j* ?-:/2 sin с(g« cos — е-«) dt,', (41)
L
при X== п имеем:
Nn (Z) = — ^ j Ze-iz sin' cos nZ dZ (n — четное), (42)
L
Nn (z) = -L j* ^g-issin'. sin d? (я _ нечетное). (42')
L
Применяя интегральную формулу (20) из п. 5, получаем, например, для N0(z), ввиду того, что
N0(Z) =
формулу:
^ [МЛ
- \» Lo'
UN0 (Z) = 2 (С+ log 2) J0(Z) + I cos (z cos Z) log (z sin2 Z) dZ, (43)
где С есть постоянная Эйлера.§2 Функции Бес селя
475
Подобным же образом можно получить разложение в ряд для Ny (z) из разложений для J1 (z) и J y (z). Рассмотрим ближе тот случай, когда X целое число. Имеем:
так как мы имеем право диференцировать под знаком суммы по X, то получаем:
—-і"Яа-^+Ы ijirUj І
а
х+1
aT^) , (Z)-IzA zTId-^-)
(44)
Определим прежде всего значения производных V, -,.77: при целых
at 1(f)
значениях t. Из функционального соотношения
Г(< +1) = <Г(0 (*ф0, ~1, -2, ...) путем логарифмического диференцирования получаем:
Г«+1)= * , Г'(0 Г(*+1) <Ч"Г(/)-
Применяя эту формулу k раз, имеем:
H* + *+1).....- 1I1I +I4-r^ (Ь0 1 2 )
Ht + k+i) ~< + й + t + k— 1 t + Г(*) (A-U' 1S
Далее,
d __І Г' (t)
dtT(t)~ V2(t)~ T(t)'T(i)'
Полагая в предыдущей формуле / = 1, k = n—1, получаем:
Г'(«4-і)_і , і , 4 P(i)_ t ї
+ ^Л+ • • • +1 + Г(іу-TT+ /T=TT+ • • • +1 _с
Г '(Л
для п= 1, 2, 3,... Зная значения -утї\ для нелых положительных
I (T)
значений t, мы вместе с тем знаем искомые значения производ-d 1
нои тг.гтт^ в этих точках: dt 1 (t)
[dtT(t))
= C,
/=і
d \__ 1 Г 1__, J____1
dtT(t)~ (t— l)ih — 1 + t — 2+'--^ 1 6J
при t = 2, 3,...476
Специальные функции
Гл. VII
Чтобы найти значения производной при целых отрицательных значениях Z, мы решим уравнение:
1 . 1
относительно
Г'(О
Г (Z)
t + k 1 z-\-k
. Умножая затем обе части на
1 ^r " t ^ T(t)
T(t)'
получим:
j_ r^ ^ l f±_l j__l
г (О Г (о Г(<)\* "П-н"*"
1
t-\-k
t-\-k\
PjH-H-J) Г(0 r(f + A + l)
"Если будем теперь неограниченно приближать Z к —& (&=0, 1,2,...), то левая часть равенства, а следовательно и правая будет, стремиться
к значению производной
(
d 1
-k выражение
1
V dtT(t])^_k- Но прн 1 " —г(Z) стремится к нулю, следовательно, в правой части остается только
11 1.1,.1
член ЇГ7ТТ • -гг—г, так как сумма — -}- -J- ... -}- -- и выра-
I1(Z) t-\-k ' P (t + k 4- 1)
Z 1 t-\-1 1 '"' 1 t-\-k— 1
жение vrri—і—і—, - имеют конечные значения. Умножив числитель и 1 (Z-J-ft-f-l)
знаменатель остающегося члена на Z (Z -f- 1) ... (Z-f- k — 1) и приняв во внимание функциональное уравнение для гамма-функции, получим, что знаменатель равен T(Z-}-&-|-l) и стремится при Z--*—k к Г(1) = 1; так как числитель стремится при этом к (—1)?!, то:
t——k
Подставив значения производной (44), мы при X = 1,2,... получаем:
A
HtfJt)
для целых значений Z в ряды
Ъ1
V Х /!= О
I1 I 1 I
u 1 x-i 1
...+ 1
}
п=\
\ п-\
я! (« + *)!;
+
« + Х-
т + ... +1+-4—Ц + ... +
1 1 1 п п — I1 1
(45)Шаровые функции Лежандра
477
а при X = O имеем:
тг TV0 (Z) = 2 Jg(Z) (log -J + с)-
Последние разложения позволяют нам выяснить характер особых точек, которые могут встретиться в решениях диференциального уравнения Бесселя.
Если не считать точки z=oо, которая является существенной особой точкой для любого решения, не обращающегося тождественно в нуль, единственной особой точкой решений диференциального уравнения Бесселя может служить точка Z=0.
Если X не является целым числом, JO общее решение можно представить с помощью функций Jx(z) и J_x(z), и потому при Z = O могут встретиться только особенности вида Zx или z~K
Если X равно целому числу п, то решения могут иметь при Z = 0, кроме полюса порядка п, 'еще логарифмическую особенность вида znlogz. В самом деле любое решение можно выразить как линейную комбинацию функций Jn(z) и Nn(z), а эти функции других особенностей ие имеют.
В частности бесселевы функции Jn(z) с целочисленным индексом п представляют решения, которые остаются регулярными и в точке z = 0.