Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3. Шаровые функции Лежандра.
Мы в нескольких местах этой книги 1J исследовали шаровые функции Лежандра и получающиеся из них диференцированием шаровые функций высшего порядка, при действительных значениях независимой переменной, и вывели много свойств этих функций. Теперь, переходя к комплексному переменному z = x-\-iy, мы выведем здесь для этих функций выражения с помощью интегралов и вместе с тем найдем остальные решения диференциального уравнения Лежандра; при этом сама србой обнаружится возможность освободиться от ограничения, что параметр п в функции Лежанцрі Pn (z) есть целое положительное число 2).
1. Интеграл Шлефли. Из выражения (гл. II, § 8, стр. 77)
1 da
Pn(z) = —- (z2 — 1)» "w 2"nl dzn '
для полинома Лежандра я-го порядка на основании интегральной формулы Коши вытекает для1 любых комплексных значений z соотношение:
І J 2(46)
1) В гл. II. § 8 и гл. V. § 10, 2.
2) Ср. Wdttaker Е. Т. and Watson G. N., A course ot modern analysis, 3-е издание, стр. 302—336, Cambridge 1920. 478
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
где путь интегрирования С в» плоскости комплексного переменного C = = S nj окружает точку Z = Z и пробегается в положительном направлении. Это выражение, которое было дано Шлефли (Schlafli), приводит к важным следствиям и обобщениям. Прежде всего заметим, что мы можем .непосредственно, проверить, что интегральное выражение (46) удовлетворяет диференциальному уравнению Лежандра:
В самом деле, диференцирование под знаком интеграла дает для левой части уравнения выражение:
J1=??*[{п +2)11 *2)-2z>-г) +^-z)2]d^=
с
= Ш j If-Jrз mn + \)Z(Z-z)-{n + 2)(?-X)}dZ = с
^n+ \ Г d T(P-I)^n
2т2п J dZY(Z — z)n*K\ "" с
которое должно равняться нулю, так как путь интегрирования С—
(?[2 _ 1)0+1
замкнутая линия, а функция ---- есть однозначная функция
(5—Z)a + *
от Z- Мы можем теперь воспользоваться этой проверкой, для того чтобы обобщить определение функции Pn(z) на любые значения параметра п. Действительно, интеграл Шлефли (46) представляет для любого п решение диференциального уравнения Лежандра, если только выражение (Z2 —1)"+1
jj,-\п+2 ПРИ обходе пути интегрирования возвращается к своему
(ц Z)
первоначальному значению, т. е. тогда, например, когда путь интегрирования замкнут на римановой поверхности подинтегрального выражения. Но функция Pn(z) уже не будет, вообще говоря, целой рациональной функцией от Z и даже не будет однозначной аналитической функцией от z. Такой путь получаем следующим образом: разрежем плоскость Z вдоль действительной оси от — 1 до — оо и вдоль произвольного пути от точки 1 до точки z; подобным же образом разрежем плоскость z от — 1 до — оо и выберем за путь С замкнутую кривую, содержащую внутри точки Z = Z и C = -J-I, обходя их в положительном направлении, и не содержащую точки Z = — 1. Определенную таким образом функцию
с
Однозначную во всей взрезанной плоскости z, мы назовем шаровой функцией Лежандра индекса v. Она удовлетворяет диференциальному уравнению Лежандра
[(1—22)k']'-J-V<V-J-1)K = 0 (48) §3
Шаровые функции Лежандра
479
и может быть охарактеризирована как тот однозначно определенный интеграл этого уравнения, который при z = 1 остается конечным3) и имеет значение
Pv(I)=I-
Это непосредственно следует из интегрального выражения, если в нем Z неограниченно приближать к единице. Так как диференциальное уравнение не изменяется, если в нем заменить v через —у—1, то отсюда вытекает тождество:
PJz) = P^-I і*),
проверка которого путем вычисления не так проста.
Функция P,,(z) удовлетворяет, как читатель легко проверит, исходя из интегрального выражения, рекуррентным формулам:
К+1 (*) - zK (*> = (v +1 )pv (*). (49)
(V + 1) Pv+1 (Z) - г (2v + 1) Py (z) -j- vP,^ (z) = О,
из которых вторая была выведена для целых v в главе II, § 8, п. 3.
2. Интегральные выражения Лапласа. Если действительная часть числа z положительна и zdjz 1, то мы можем выбрать за путь С окружность радиуса | Vz2— 1 ] с центром в точке z, так как из неравенства I Z-1 I2 < |z-j-l I I Z-1 Kl^-H 1 I2, имеющего место при
Stz > О и z ф 1, следует, что эта окружность обладает требуемыми свойствами. Вводя вещественную переменную интегрирования <f, пола-
гаем ? = z-}-|z2-—II2c1"1?, I е^тт; тогда из интеграла Шлефли непосредственно получаем первое интегральное выражение Лапласа:
Pv (z) = -L (z-j-Z2 — 1 cos tp)' dip,
(50)
причем выбираем ту ветвь многозначной функции (z-f-l/z2— lcostp)v,
TT
которая при <р = —- принимает значение Zv, где под Zv разумеем „глав-
ное" значение этой функции, в частности при положительном z и вещественном V — действительное значение. Формула Лапласа справедлива и при Z= 1.
Формула Pi = непосредственно приводит ко второму инте-
гральному выражению Лапласа:
я
PJz)=-L \-, - d^ -Г. (51)
(г "f" VZ2 — 1 COS <p)v+1
" J (
Заметим, что первое выражение в случае v =? — 1 и второе в случае V 0 неприменимы для тех значений Z-, при которых выражение
') Действительно, второй интеграл этого уравнения Qv, который мы определим, в п. 3, становится при 2 = 1 логарифмически бесконечным, а потому этим свойством обладает и всякий интеграл, линейно независимый от Pv. 480
