Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ъп -
(?)
dv1dv2...dvn
(79)
и заметив, что левая часть инвариантна относительно вращений шара 2тг
вокруг оси Z на угол — , мы непосредственно видим, что необращающаяся тождественно чз нуль1) шаровая функция п-го порядка
2тг „,
как функция от <р, имеет период — . Так как на основании п. 3 всякая шаровая функция /z-го порядка может быть представлена в виде
я
^ [(Itlyh cos Atf -f- ЬпЛ sin А<р) Pn h (cos o),
ft=о
то отсюда следует, что функция У„(д, <р) должна иметь вид:
Yn (9, <PJ=(аПіП cos щ + bn>n sin щ) Pn n (cos o) -f anfi Ptli0 (cos &) = \ = a cos n (<p — <p0) P„,„ (cos o) + Oafi Pntо (cos O).
\rj n\ dzn
Ho нетрудно видеть, что Pn,о (cos O) = P„ Q
Принимая, далее, во внимание произвол в выборе одной из осей Vi, мы видим, что действительно всякую шаровую функцию вида
a cos п (<р — %)РПі„ (cos O) можно представить в виде линейной комбинации двух мультиполей:
й"
одного — вида (79), а другого — вида
Ъгп
4) Что потенциал мультиполя не может тождественно равняться нулю, будет доказано на стр. 494, 492
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
Чтобы получить выражение для остальных шаровых функций я-го порядка с помощью мультиполей, мы заметим, что функция ип может быть представлена на основании формулы (80) в виде
«„=/«(*,JOs(f) '-1H-P
а*
G)
Ъгп
где /я (х,у) = a cos я (tp — tp0), fD (0,0) = 0, а ? — постоянное число. В этом выражении заменяем п через h и затем диференцируем я — h раз по z. Получающаяся таким образом потенциальная функция Utlih также имеет вид
"W
(Z \ г-"-1
у) +?
02"
и отсюда мы можем заключить, что шаровая функция я-го порядка
должна иметь вид a cos A (tp — <р0) <о (o) -f- ?j Pn 0 (cos 9). Поэтому на основании п. 1 она должна иметь форму:
Const X cos h (<р — <р0)Яя,л (cos o) + ?j Pnfi (cos ft). (81)
Что таким образом можно получить любую функцию этого семейства, опять непосредственно следует из произвольности выбора направления одной оси.
Так как согласно п. 2 любую шаровую функцию порядка п можно представить в виде суммы 2п-\-\ шаровых функций вида (81), то ясно, что мы получим любую шаррвую функцию я-го порядка, если образуем суммы потенциалов мультиполей:
H1)
"= E • <82>
Обратно, любая сумма такого вида, очевидно (см. стр. 485), дает шаровую функцию я-го порядка. Более того, если будем придавать коэфициентам ат всевозможные значения, то получим, как сейчас покажем, каждую отдельную шаровую функцию бесчисленное множество раз.
Сначала мы еще докажем, что любая сумма предыдущего вида является потенциалом одного мультиполя с надлежаще выбранными осями. При этом мы будем пользоваться символической записью, а именно рассмотрим однородный многочлен я-й степени
//(5,4, O= E
/I-A-H= Я
и запишем наш потенциал в виде , где ?,>]>? в выражении И надо заменить символами диференцирования , -у и . Так как при этом §5
Шаровые фуніщии Лапласа
493
условии относительно S, I), С функция (S2 -(- Ij2 -J- С2) — тождественно
равна нулю, то H = /Z1 —, если только разность H— //,, рассматриваемая как многочлен относительно jj, ?, может быть представлена в виде Q (S2 -f-7j2 + С2), где Q— однородный многочлен (п — 2)-го измерения относительно S, Ї], Q
Теперь мы будем опираться на простую алгебраическую теорему, которой пользовался Сильвестр х). Для каждого однородного многочлена п-й степени H(?, і), С) можно определить п линейных форм L1, L2,...,Ln и многочлен (п — 2)-й степени Q(SfIjfC) так, чтобы имело место соотношение вида
H = CL1 Li...Ln + Qtf2 + ч2 + S2).
Если H имеет действительные коэфициенты, то линейные формы L1,L2,.. .^определяются с точностью до постоянных множителей однозначно требованием, чтобы их коэфициенты быт действительными числами. Доказательство этой теоремы и геометрическое истолкование форм L1 мы дадим, чтобы не прерывать хода рассуждений, в конце этого пункта. Из теоремы Сильвестра вытекает наше утверждение относительно выражения суммы (82) в виде потенциала одного единственного мультиполя. В самом деле, разумея под V1 направление, перпендикулярное к плоскости L1 = 0, мы получаем:
й„±
и = Н~ = С Г — , Г dVj dv3... bVn
что и дает нам искомое выражение.
Таким образом основные положения нашей теории установлены. Мы можем придать нашим рассуждениям несколько иной оборот, при котором можно избежать ссылок на результаты п. 1 и 2 и при котором более выпукло оттеняется чисто алгебраический характер наших теорем, но зато теряется связь с выражениями в явном виде. Мы начнем с замечания, что две функции H у и H1- тождественны между собой в том'
и только в том случае, когда разность Н* (S, 7), Q = H (?, jj, Q —H1 (s, J], Q делится на E2 + rt2 С2. Первая часть этого утверждения, как мы уже отмечали, очевидна. Чтобы доказать вторую часть, мы должны обнаружить, что из соотношения Н*~~=0 следует делимость однородного
многочлена H*(Z, jj, Q на (S2 -f- Jj2 -{- С2) 2). Но согласно теореме Сильвестра имеем:
Н* = CL*L2*.. .L* + Q* (S2 + Jj2 + С2), (83)
