Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
») Sylvester J. J., Note on spherical harmonics, Phil. Mag., т. 2, стр. 291—307 и 400, 1876; Papers, т. 3, стр. 37—51, Cambridge 1909.
2) См. цитируемую далее работу А. Островского (стр. 496, сноска 1). 494
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
где L1*, L2*,.. .,Ln* означают линейные формы, которые в случае действительной функции Н* можно считать действительными. Если .одна из форм L1 тождественно равна нулю, то наше утверждение очевидно. Если же ни одна из линейных форм не обращается тождественно в нуль, то
1 1
Н*— = CL*L0*.. .LJk -=C
(т)
г ^ 2 " " г
вследствие того, что начало координат представляет особую точку, потенциал мультиполя в правой части может равняться нулю во всем пространстве только в том случае, если C=O. Действительно, в противном случае мы имели бы при надлежаще выбранном т (0
T
соотношения: ---— =ЭвфО, -—=0, и поэтому функция Vm
dVj. . .dvm
должна была иметь на всякой параллели к оси vm+1 постоянные значения, что невозможно, так как начало координат является особой точкой.
Таким образом имеем
н* (?, Jj, о=Q* & ч, С) • (S2 -f f+И;
как мы и утверждали.
Как ЛеГКО ВИДеТЬ, мы МОЖеМ Любую ОДНОрОДНую ФУНКЦИЮ //(?, JJ, С) я-й степени привести и притом единственным образом к виду
//(?, ч, 0 = Gn (ч, 0 + S G^j (ч, С) -I- (с2 + Ч2 + V) Q (5, Ч. 0- (84)
При этом Gn означает однородную функцию я-го измерения только от ч и Gn j—функцию (п — 1)-го измерения, a Q — однородную функцию (я—2)-го измерения. Разность двух функций я-й степени //(?, ч, С) и H (?, ч, Q делится на ?2 + Ч2~Ь?2 в том и только в том случае, если для соответствующих функций Gn, Gn_v Gn, Gn^1 имеют место тождественные соотношения:
G„_J = G„_1.
На основании только что доказанной вспомогательной теоремы мы
имеем в форме Н— ровно 2га-{-1 линейно независимых гармонических
функций соответственно 2n -j— 1 коэфициентам, входящим в функции Gn и On_j, которыми мы можем раснолагать по нашему усмотрению. Следовательно, мы действительно можем всякую шаровую функцию порядка я представить как сумму потенциалов мультиполей. Однако, чтобы действительно получить выражение шаровой функции в этой форме, возможность чего. мы доказали, надо будет в той или иной форме прибегнуть к рассуждениям, аналогичным ранее изложенным.
Остается только привести в заключение доказательство теоремы Сильвестра. Мы проведем это доказательство с помощью простого рассуждения из области алгебраической геометрии. Коническая поверх- §5
Шаровые фуніщии Лапласа
495
ность п-то порядка H{Z, Jj1Q = O в пространстве S1Jj1C пересекает на основании теоремы Безу абсолютный конус S2 -j- Jj2 + C2 = О ровно по 2п образующим, причем кратные пересечения, если таковые имеются, надо считать сообразно их кратности. Мы проводим через эти 2п образующих п плоскостей таким образом, чтобы каждая плоскость содержала две образующие и чтобы каждая образующая лежала на какой-нибудь из этих плоскостей. Пусть уравнения этих плоскостей:
ММ. О — Cil S + bt Ti -f-C1 C = O (і =1,2,..., п).
При этом кратные образующие должны входить сообразно их кратности1). Рассмотрим теперь пучок конусов и-го порядка, содержащий два параметра X и р: VL1Lt^Llt = O.
Каждый конус этого пучка пересекает абсолютный конус по указанным 2п образующим. Теперь возьмем произвольную образующую абсолютного конуса, отличающуюся от указанных, и определим отношение параметров ),:р так, чтобы конус п-то порядка \Н-f- V-L1L2.. .Ln = O проходил также и через эту образующую, что всегда возможно и дает для l'.ji значение, отличное от нуля и от бесконечности. Этот новый конус п-го порядка имеет с абсолютным конусом, представляющим конус второго порядка, более 2п общих образующих, что возможно только тогда, когда этот конус содержит в себе целиком конус второго порядка. Но это будет в том и только в том случае, когда левая часть равенства содержит выражение (S2-j-Jj2-f-С2) в качестве множителя2), т. е. если
IH+ р L1L2... Ln = (S2 + Jj2 -j- С2) Q.
4) Чтобы уточвить это правило, не прибегая к сложной общей алгебраической теории элиминирования, мы поступаем следующим образом. Мы униформизируем геометрический образ +1)2 + C2-O, полагая, например, , 1 It ,_,_,/—г
6=г+7.-1= Пйі^-1-г-1'
Однородная функция й-го измерения //(?,гь?) переходит тогда при этой подстановке в рациональную функцию H*(t) степени 2я от и Корни этой функции определяют общие образующие конусов H(i,ii,V) — 0 и ?2 +1)2 + C2 = O. Мы скажем, что общая образующая этих конусов является ^-кратной, если соответствующее значение t является корнем k-к кратности уравнения H*{t) = 0. Линейные формы Lt, L2,...,Ln надо выбрать таким образом, чтобы каждая общая образующая к-й кратности конуса Н—0 и абсолютного конуса была также кратной линией пересечения агрегата плоскостей L1L2... La = 0. Легко видеть, что это предписание можно всегда осуществить f.
2) Первая часть утверждения очевидна; вторую часть проще всего можно доказать, если представить данную форму согласно формуле (84) в виде:
Gn ft, 0 + 5 G^1 ft, С) + <Є» +t2 + С2) Q (Е, ч, С). Если теперь г;, С представляют любую пару значений, для которой т)2 -f- C2 ф0, то имеют место одновремевно оба соотношения:
