Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
справа налево, а в нижней — слева направо. Разумея под и 2 ту однозначную в разрезанной плоскости ветвь этой функции, которая получается, если считать значения на нижнем крае положительной части
. iu\~~2"
действительной оси аргумента и равными нулю, а под ^ 1 -j- ^ j — ту ветвь, которая при U = O имеет значение 1, получаем:
Если --2 ^ — 1, то можно петлю вокруг, точки и = 0 стынуть
в точку и, следовательно, заменить наш интеграл интегралом, взятым вдоль нижнего края положительной части действительной оси от 0 до оо, к которому надо прибавить интеграл, взятый вдоль верхнего края от оо до 0. Но последний интеграл равен первому, умноженному на
— 2га (>.+ —)
— е 2 . Поэтому после легких преобразований, в которых при-
Tt
ходится пользоваться формулой Г(х)Г(1—х)*=^-^,-получаем:
х-4-
/ to OO 1
>~2
rVx+ 2) Ь
Последний множитель под знаком интеграла выражаем при помощи формулы Тейлора с остаточным членом Коши в виде определенного интеграла:
P-il-(¦+?) -gl
2 al <88,
и замечаем, что для остаточного члена получается при этом удобна», оценка.
32* 500
Специальные функции
Гл. VII
В самом деле, для положительных значений и имеем:
предполагая, далее, 9? ^X—~--pj <С0, что во всяком случае справедливо при достаточно больших значениях р, имеем:
(¦+Iі)
< ^iswi (SinS)3i^ 2 pLap,
где Ap не зависит от z и t. Подставляя выражение (88) в формулу (87) и почленно интегрируя, получаем:
- Х
KlXZ/
P-I/X
1
V = O
,(89)
причем
I —
Таким же образом, а именно с помощью подстановки т-|-1= — мы
1 Z
получаем:
вд=
~{nz)
•Ы)
р-1 /X —
і
v=0
И
,(90)
Отсюда следует:
S= о (М-р).
ЛИ=-о (*) 4- Щ (*)] =
¦К)
i\W Mv/
( — l)2COS
(—1) 2 sinf Z ^7t
ИІ-ч))
+
(91) §6 Асимптотические разложения
501
где из двух выражений, стоящих внутри фигурных скобок, надо брать верхнее в случае четного v и нижнее в случае нечетного v. Ограничиваясь первым членом разложения, имеем:
Л(2") = і/ (92)
тем самым определены пределы, о которых шла речь в гл. V, § 11, п. 2, а именно:
/2 - Xtt . тт
3. Метод перевала. Во многих случаях можно применить более общий метод для асимптотического вычисления интегралов, называемый ,методом перевала" (Sattelpunktmethode). Если имеем интеграл
с
взятый по пути С, на котором действительная часть функции /(т) по мере приближения к обоим концам этого пути стремится К — OO, то при больших положительных значениях Z удаленные части пути интегрирования, т. е. те части, для которых действительная часть Зі/(т) имеет большие отрицательные значения, будут оказывать тем меньшее влияние на значение интеграла, чем больше z. Мы попытаемся теперь так изменить путь интегрирования в плоскости комплексного переменного, чтобы та часть пути интегрирования, которая имеет решающее значение при вычислении интеграла, была по возможности меньЧпе. Нам нужно, следовательно, выбрать такой путь, на котором Ш/(т) как можно быстрее убывала бы по обе стороны от некоторого наибольшего значения! Полагаем т=и-\- iv и представляем себе, что Э(/(т) изображена в виде поверхности, простирающейся над плоскостью и, v (поверхность имеет повсюду отрицательную кривизну); тогда мы достигнем цели, если нам удастся провести путь через точку перевала на этой поверхности так, чтобы по обе стороны от этой точки путь как можно более круто спускался к большим отрицательным Значениям Э(/(т). В таком случае для больших положительных значений z будет играть роль только ближайшая окрестность точки перевала.
Линии наиболее быстрого спада являются ортогональными траекториями линий уровня 9ї/(т) = const, т. е. представляют кривые Я>/(т) = = const. В точке перевала обращаются в нуль производные, взятые по направлению. касательной к кривой ^/(т) = const, от функций 9ї/(т) и 3/(т), а потому обращается в нуль также и производная /' (т) самой функции /(т). Следовательно, мы должны искать точки перевала среди корней уравнения
/(т) = 0.
Вывод формулы Стирлинга подходит под этот метод, поскольку там действительная ось как раз и была требуемым путем, наиболее круто спускающимся от перевальной точки т = 1. 502
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
4. Применение метода перевала к вычислению функций Ганкеля и Бесселя для больших значений параметра и больших значений аргумента. Мы здесь со всей возможной краткостью проведем при помощи этого приема асимптотическое вычисление функции (см. формулу (3) на стр. 446):
Н[ (al) = — i- J е* (¦-la «ta <+ iMx
при действительном значении а и большом положительном значении X. Разложим множитель при X в показателе на действительную и мнимую части:
— I a sin т -j- ii = /(т) = a cos и sh v — v -(- і (и — a sin и ch v).
Точки перевала являются корнями уравнения CCost = I; через эти точки мы должны провести кривые и — а sinwch u=const и посмотреть, можно ли составить из них требуемые пути интегрирования,
1. Если а<1, скажем то точками перевала яв-
