Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
оЫ^К-
С другой стороны, мы получаем непосредственным вычислением путем интегрирования по частям, что
DM=V
Так как Iim Xn = со, то при достаточно большом т должно иметь
п-+ оо
место неравенство: Xm>Xn; мы приходим таким образом к противоречию, которое доказывает, что число областей G1, G2,... не может быть больше п. Само собой очевидно, что доказательство нашей теоремы протекает точно таким же образом и при другом числе независимых переменных').
В частном случае задачи Штурм-Лиувилля (рУ)'—qy 4- Xpy = О мы можем значительно уточнить только что доказанную теорему. В этом случае число областей G11G2,... не может быть и меньше чем п, так что мы получим следующую теорему:
Узловые точки п-й собственной функции задачи Штурм-Лиу-виллч делят основной интервал в точности на п частей. Доказательство опирается на свойство непрерывной зависимости решения диференциального уравнения от йараметра X. Ограничимся для краткости дифе-ренциальным уравнением у" ~kpy = 0. Обозначим через у (х, X) реше ние этого диференциального уравнения, обращающееся в нуль при X=O и непрерывно зависящее от параметра X. Мы получаем непосредственно тождество:
X
У (X, I1) У (X,X) — у (л:, Х)У (x, X1) = (X1 — X) \ ру (х, X)у {х, X1) dx.
о
Если х = E является положительным нулем функции у(х,~к), то
?
у (Є, X1) У ($, X) = (X1 — X)$pj/ (X, 1)у (X, X1) dx.
о
Пусть I1 >Х, и пусть X1 настолько мало отличается от X, что стоящий справа интеграл имеет положительное значение. Тогда >*(!;, X1) и
') Доказанная здесь теорема может быть обобщена следующим образом: узловые линии всякой линейной комбинации первых п собственных функций делят основную область не более чем на п частичных областей. См. Диссертацию Г. Герман, которая должна появиться в печати в ближайшем будущем. §Ь
Узлы собственных функций
433
У(?,Х) должны иметь одинаковые знаки. Предположим, что при X = Z функция у (х,\) переходит от отрицательных значений к положительным, тік что У(?, X) положительна (У (S1X) не может обращаться в нуль одновременно с _у($,Х)]. Тогда у (S1X1) также положительно. Но при достаточно малом значении разности X1-X функция _у (х, X1) сколь угодно мало отличается от функции у (х, X) и должна поэтому в окрестности значения X = Z переходить от отрицательных значений к положительным; поэтому функция у (х, X1) имеет нуль, лежащий сле^ от Е, откуда следует 1J1 HWO при непрерывном возрастании X все нули функции у (х, X) перемещаются влево, Первая собственная функция не имеет внутри основного интервала ни одного нуля, обращаясь в нуль только на обоих концах. Когда X растет от первого собственного значения до второго, то второй нуль перемещается справа внутрь интервала и притом до тех пор, пока правый конец интервала не становится третьим нулем функции и т. ц.., что и доказывает высказанную нами теорему а).|
1) Что при возрастании X число нулей функции у (х, 1) между 0 и S остается неизменным, следует также нз того, что у и у нигде не'"могут одновременно обратиться в нуль.
2) Мы можем доказать эту теорему другим путем, ие прибегая к свойству непрерывности, если будем исходить из следующей теоремы, справедливой таюке и в случае многих независимых переменных: если дважды диференцируемое решение и диференциального уравнения L [и) Ipu = 0 обращается в нуль на границе Г замкнутой области В, сохраняя внутри области В постоянный знак, н если о/является решением 'уРавнения L\vJ -+-Iipo = O, где ц > 1, то функция v должна внутри области В менять свой знак (при этом, понятно, исключается тот случай, когда и или v тождественно обращаются в нуль в области В). Доказательство получается непосредственно с помощью следующего соотношения, вытекающего из формулы Грина:
где означает диференцирование по внешней нормали границы Г. Не ограничивая общности, мы можем предположить, что и и v имеют в В положитель ные значения; так как на Г производная ^ =? 0, то если бы функция v не меняла знака внутри В, то стоящее справа выражение ие было бы положительным,
Применяя этот результат к задаче Штурм-Лиувилля для случая, когда, граничные значения .равны нулю, мы заключаем, что из двух собственных функций той из них, которая имеет большее число нулей на основном промежутке, соответствует большее собственное значение, ибо для собственной функции, имеющей меньшее число нулей, существует такой интервал между двумя последовательными нулями этой функции, внутри которого содержится по меньшей мере один нуль другой собственной функции. Так как первая собственная функция не имеет внутри основного интервалЬ ни одного нуля, а я-я собственная функция не может иметь больше п — 1 нулей, то эта последняя функция долЖна' ровно п — 1 раз обращаться в нуль внутри основного интервала. 434
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Доказанная только что теорема в противоположность предыдущему общему результату справедлива только для обыкновенных диференциальных уравнений. Для уравнений в частных производных может случиться, что имеются сколь угодно большие значения и, для которых узловые линии собственной функции ип делят основную область всего на две части. В качестве примера приведем1) диференциальное уравнение Ди -f- \и = 0 для квадрата О^х^тг, Osgys=S тт. Легко убедиться, что принадлежащие собственным значениям \ = 4г2 1 собственные функции
