Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому, если мы будем перемещать заданные узловые точки, то основной тон разложенной системы достигнет максимума в том случае, когда все п частичных систем будут иметь один и тот же основной тон. В самом деле, если две соседние части струны имеют разные основные тоны, то, перемещая общий узел этих двух частей, мы сможем понижать основной тон одной части и повышать основной тон другой части до тех пор, пока оба основных тона не достигнут одинаковой высоты. В рассматриваемом экстремальном случае основное колебание разложенной системы выражается с помощью непрерывно диференцируемой функции, являющейся собственной функцией всей системы, принадлежащей соответствующему числу колебаний и обращающейся в нуль в п—1 точках первоначальной системы. Итак: если закрепить п—1 точек струны, выбрав эти точки так, чтобы разложенная система имела по возможности наиболее высокий тон, то в качестве решения получается собственная функция первоначальной системы, имеющая п—1 внутренних нулей. Если мы обозначим полученные таким путем собственные значения через ]Ха, а соответствующие собственные функции через Vrt, то во всяком случае [хл+1 ^= JjLn, так как безусловно существует по меньшей мере один такой интервал между двумя соседними нулями функции vn, который содержит внутри себя в качестве правильной части один из интервалов между двумя соседними нулями функции Ww, а уменьшение интервала вызывает повышение основного тона (см. стр. 433, примечание).
Если мы теперь обозначим, как раньше, через \п собственные значения струны, расположенные в порядке возрастаний, то мы видим, что Jiw Xn, так как числа р.п составляют часть множества чисел Xn. С другой стороны, закрепление заданной узловой точки представляет собой специальный предельный случай общих линейных добавочных условий, накладываемых на функции сравнения в вариационных задачах, определяющих собственные значения Xn (см. §'1, 4). Очевидно, что если ограничиться только добавочными линейными условиями этого специального типа, то соответствующий максимум минимумов, т. е. ЧИСЛО JJLn
') См. Hohenetnser, „Ingenieurarchiv", 1930, вып. 3, rje проводится аналогичное рассуждение. Дополнения и задачи к шестой гяаве
443
не может быть больше максимума минимумов всех вариационных задач с любыми добавочными линейными условиями, т. е. числа In. Поэтому Pn=^Xn, и, принимая во внимание предыдущий результат, мы получаем, что Р„ = ХП. Теорема о числе нулей собственных функций Шіурм-Лиувилля, таким образом, доказана.
Литература к главе VI.
Courant R., Beweis des Satzes, dass von allen homogenen Membranen gegebenen Umfsnges und gegebener Spannung die Kreisformige den tiefsten urundton besitzt, „Math. Zeitschr.", т. I, стр. 321— 28, 1918.
— (Ъег die Eigenwerte bei den Differentialgleichungen der mathematischen Physik, там же, т. VUt стр. 1—57, 1920.
— Uber die Schwingungen eingespannter Platten, там же, т. XV, стр. 195—200, 1922.
— Ein allgemeiner Satz zur Theorie der Eigenfunktionen selbstadjungierter Differential usdrucke, „Nachr. Ges. Gottingen (math.-phys. Kl.)", 1923, заседание от 13 июля
— Uber die Anwendung der Variationsrechnung..., Acta math., 49.
Kneser /4., Integralgleichungen (см. литературу к гл. III).
Liouville J, Memoire sur Ie developpement des fonctions ou parties de fon-ctjons en series dont Ies divers termes sont assujettis a satis'aire a une тёте equation differentielle du second ordre contemnt un parametre variable, .J. math, pures et appl.", Ser. 1, т. I, стр. 25<—255,^1 »36, там же, т. И, стр. 16—35, 418—433, 1837.
WeylH.. Das asymptotische Verteilungsgesetz der Eigenwerte linearer partle Ier Diff rentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung), „Math. Ann.", т. LXXI, стр. 441—479, 1912.
— Uber die Abhangigkeit der Eigenschwingungen einer Membrane von deren Begrenzung, ,J. f. d. reine und angew. Math.", т CXLI, стр. 1—11, 1912.
— Uber das Spektrum der Hohlraumstrahlung, там же, стр. 163—181.
— Uber die Kandwertaufgabe der Strahlungstheorie und asymptotische Spek-tralgesetVe; там же, т. CXLIII, стр. 177—202, 1913.
Richardson R. G. D., Das Jakobische Kriterium der Variationsrechnung und die Oszillationseigenschaftsn linearer Differentialgleichung'n zweiter Ordnung. Первое сообщение „Math. Ann.", LXV1II, стр. 279. Второе сообщение »Math. Ann.*, LXXI, стр. 214.
— Uber die notwendigen und hinreichenden Bedingungen fur das Bestehen eines Kieinschen Oszillationstneorems, „Math. Ann.", LXXIII, стр. 289.
Считаю своим долгом отметить, Что Ричардсон в присланной незадолго до начала мировой войны в редакцию „Mathematische Annalen" и, к сожалению, неопубликованной рукописи, представлявшей набросок предполагавшейся работы, рассматривал задачу нахождения собственных значений дифереициальных уравнений эллиптического типа и другим путем получил результаты, имеющие очень много точек соприкосновения с результатами, изложенными в настоящей главе; это относится прежде всего к исследованию поведения собственных значений при расширении основной области и при возрастании коэфициеитов, содержащихся в граничном условии, затем к исследованию зависимости собственных значений от коэфициеитов диференциального уравнения и, наконец, к теоремам о нулях собственных функций. Глава VII.
