Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Специальные функции, к которым приводят задачи.
§ 1. Предварительные замечания относительно линейных диференциальных уравнений второго
В этой главе мы подробнее исследуем некоторые классы функций из тех, которые мы раньше определили, а именно бесселевы функции, функции Лежандра и общие шаровые функции Лапласа; при этом мы станем на несколько более общую точку зрения, чем в предыдущих главах, а именно: мы будем придавать независимой переменной произвольные комплексные значения и будем изучать наши функции как функции комплексного переменного методами теории функций. При этом мы будем рассматривать не только указанные функции, но и совокупность всех решений соответствующих диференциальных уравнений, которым удовлетворяют эти функции. Мы будем считать известным, что всякое такое линейное диференциальное уравнение и в случае комплексной независимой переменной z = x-\-iy имеет два линейно независимых решения, из которых самое общее решение может быть составлено линейно при помощи постоянных коэфициентов, и что все решения представляют регулярные аналитические функции от z повсюду, за исключением постоянных особых точек, задаваемых коэфициентами уравнения. Такого рода линейными диференциальными уравнениями определяются многие новые и важные классы функций, которые не могут быть непосредственно выражены с помощью элементарных функций, но которые могут быть часто представлены при помощи интегралов от элементарных функций.
Чтобы получить решение линейного диференциального уравнения
в виде интегрального выражения, часто пользуются методом интегрального преобразования, который мы здесь сперва изложим в общем виде. Вместо неизвестной функции и (г) вводят новую неизвестную функцию V (?) от комплексной переменной ? = S + Щ с помощью равенства:
о собственных значениях.
ПОРЯДКА.
L [«] + IXU = О
(1)
с
причем ядро преобразования K(z, 0, которое должно быть аналитической функцией от каждой из комплексных переменных, и путь интегриро- §2 Функции Бес селя
445
вания С следует каждый раз надлежащим образом выбрать. Тогда диференциальное уравнение переходит в уравнение:
j (L [К]+ JiKMQdC = О, с
где диференциальная операция L относится к переменной г; при этом предполагается, что можно изменить порядок операций интегрирования и операции L.
Если теперь выбрать функцию К так, чтобы можно было заменить выражение L [К\ диференциальным выражением А\К], относящимся только к перёменной С, т. е. подчинить К (z, С) уравнению с частными производными
L[K]=A[K],
и затем путем интегрирования по частям, допуская опять законность такого интегрирования, изгнать производные функции К, то предыдущий интеграл переходит в
с
при этом В \v\ есть диференциальное выражение, сопряженное слА \v] (см. гл. V, § 1). К этому интегралу присоединяется еще выражение, зависящее от значений на концах пути интегрирования, которое можно сделать равным нулю при надлежащем выборе пути интегрирования. Если уравнение в частных производных, в выборе которого нам представлен большой простор, и преобразованное диференциальное уравнение
В [®] + [IV = О
могут быть просто решены в явном виде и притом так, чтобы были справедливы предыдущие допущения, то при помощи этого метода получается решение и (г) в указанной интегральной форме.
В анализе такие интегральные преобразования встречаются в различных видах. При ядре
К (z, Q = (?'- или ei& мы получаем, например, преобразование Лапласа, при
К (г, Q = (z~ Q" получаем преобразование Эйлера.
§ 2. Функции Бесселя.
Рассмотрим прежде всего диференциальное уравнение Бесселя:
z2kff + 2?'+ 22к — X2k = O. (2)
Мы хотим найти и исследовать все его решения, причем мы будем считать независимую переменную z и параметр X комплексными величинами. 446
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
1. Интегральное преобразование. Попытаемся проинтегрировать уравнение (2) с помощью преобразования (1). Подставляя в диференциальное уравнение, получаем:
( (г* кгг + 2 K1 + г9- К — X2 К) V (С) dZ = 0.
Налагаем теперь на функцию К требование удовлетворять диференциальному уравнению:
однозначным и регулярным решением которого во всей плоскости Z и во всей плоскости ? является функция
Диференциальное уравнение (2) переходит в уравнение:
і
+ X2 К) V (OrfC = о
или после интегрирования по частям в уравнение:
^K(z, С) -j. XMrfS + К4) о? = 0.
с с
-TI+ /сс п +J00 Так как преобразованное дифе-
ренциальное уравнение г>"+)ггі=0 имеет решения то остается
только определить надлежащим образом путь интегрирования. Для этого заметим, что на вертикальных 0 С < отрезках путей, отмеченных на
черт., 8 и 9 буквами L1 и L2, действительная часть от —issinC имеет отрицательное значение при Sftz^O1) и с возрастанием стремится к отрицательной беско--X00j -foo неч-'ости, причем порядок роста та-
кой же, как у прказательной функ-Черт. 8. Черт. 9. ции Полагая К (z, Q =е~'г siB
мы видим, что добавочный член K^v — KnJ стремится на L1 и на Lz с обеих сторон к нулю, и интегралы
