Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
-71
П
НИф
Ijc-ISJSi. L1
sin с+?).<:
4
HUz) =---\ е-ЛАС+AtrfS
т
і) Под символом Жг мы разумеем действительную часть комплексного ч^сла г, а под Qz — коэфициеит при і в мнимой части этого числа, т. е. если г = а ¦f- Ы, то SRz = a, a — Ь. (Прим. перев.) §2
Функции Бес селя
447
дают нам два решения диференциального уравнения (2); это так называемые функции Ганкеля (Haiikel). Легко видеть, что эти интегралы сходятся при ЗЇ2>0 и удовлетворяют тем условиям, которые нужны были для вывода их.
2. Функция Ганкеля. Функции Ганкеля Hx(z) и Hx (z) определены с помощью интегралов (3) только в правой полуплоскости 0. Но можно без труда аналитически продолжить их следующим образом. Полагая для краткости при постоянном значении z = x-\-iy
/(0 = — te ein С+ і XC1 S = E-J-Zij, \ = a~\-ib,
имеем:
/(С) =_у sin S ch TQ -J- л: cos E sh ij —tE — ?ij, ^f(Z) = — X sin E ch rj -f У cos E sh ij -J- aE — b\
Если выбрать для вертикальных частей пути L1 вместо абсцисс 0 и —тг абциссы E0 и —тг—E0, то взятый по этому пути U1 интеграл
W (Ч dZ, будет сходящимся при тех значениях z, для которых
у sin Eo — X cos E0 <! О,
т. е. для тех, которые лежат в полуплоскости, ограниченной прямой
у sin E0-X cos E0 = O.
Для той части этой полуплоскости, которая лежит также в полуплоскости можно пользоваться либо тем, либо другим путем интегрирования,' и результат получается, как это следует нз интегральной теоремы Коши, тот же самый. Но в другой части полуплоскости интеграл, взятый по новому пути, дает нам аналитическое продолжение функции H'x(z).
Если заставим теперь E0 пробегать неограниченную последовательность положительных значений и неограниченную последовательность отрицательных значений, то постепенно получим все аналитическое продолжение функции H\(z), а именно риманову поверхность, которая имеет в точке нуль точку разветвления, порядок которой зависит от X.
При E0=--- исчезает горизонтальная часть пути интегрирования,
и мы получаем для Н\ (z) интеграл:
Ui / \ е I 'ZChiy-).т,
Н] (Z) = —J Є Aj,
— 00
представляющий функцию в верхней полуплоскости
Sz >0. Если
в секторе
Ci sg arg 2 — 8
точка Z удаляется в бесконечность, то подинтегральное выражение на 448
Специальные фуіікЦий
Гл. VlI
всем пути интегрирования стремится к нулю; в силу равномерной сходимости интеграла в любой области Qz р 0 стремится к нулю й функция H^ (г). Аналогичным образом получаем, что функция Щ (z) стремится к нулю, когда точка z удаляется в бесконечность в секторе
тг -f- 8 < aigz < 2тт — 8.
Мы получаем, следовательно, следующий результат. Функция Ганкеля H\(z) стремится к нулю, когда переменная z, оставаясь внутри секторі о ^argz =? ті — S в верхней полуплоскости, стремится к бесконечности. Функция Ганкеля H'{(z) стремится к нулю, когда z стремится к бесконечности, оставаясь в секторе ті -f- 8 < arg Z < 2тт — S нижней полуплоскостиJ).
Из поведения функций Ганкеля в бесконечности легко заключить,
1 2
что ни одна из функций H1 (z) и Н>, (г) не обращается в нуль тождественно и что при любом значении \ эти обе функции линейно независимы друг от друга.
Чтобы это обнаружить, мы докажем, что с возрастанием j z | функция H\(z) неограниченно возрастает на положительной части мнимой оси, а функция HI (z) неограниченно возрастает на отрицательной части мнимой оси.
Для того чтобы получить выражение для Hh(z), которое сходилось бы вдоль положительной части мнимой оси, мы выбираем в качестве абсцисс вертикальных частей пути интегрирования L2 значения —E0
1т
и тт-(-E0, где E0 — произвольное число из интервала 0 < E0 ^ . Так как интегралы \efWd?, взятые по этим вертикальным частям пути, с воз-
о
растанием у стремятся к нулю, То мы можем ограничиться исследованием остающейся части:
Jgy Sia 5+ /A^1
Л + Ео
или же интеграла:
^ch 6Е е-»'cos5COSfiEdE, о
В чем легко убедиться путем подстановки E = E' -}- -Tj- . Но мы видим при і а і =?: 1 непосредственно, - а при | а \ 1 с помощью несколько
*) Это утверждение справедливо только по отношению к рассматриваемой исходной ветви функции Hx(z) или Н\(г). Другие ветви выражаются в виде линейных комбинаций исходных ветвей и 'указанными свойствами не обладают. §2 Функции Бес селя
449
более точных оценок1), что этот интеграл при _у-*со неограниченно возрастает.
Аналогичное рассуждение можно провести и для функции H* (z) на отрицательной части мнимой осн.
Из доказанной таким образом линейной независимости функций HUz) и н{ (Z) следует, что прн помощи, функций Ганкеля мы можем выразить всю совокупность решений диференциального уравнения Бесселя. В самом деле, любое решение можно представить в виде линейной комбинации:
C1Hl(Z) + C2Hl(Z).
Заметим еще, что функции н\(г) и H\(z) однозначно определяются диференциальным уравнением (2) и поведением в бесконечности с точностью до множителя, не зависящего от z. Действительно, еслн бы существовали два линейно независимых решения уравнения Бесселя, которые обладали бы указанным свойством,' скажем, для верхней полуплоскости, то этим свойством обладало бы н любое решение, следовательно, также и h{(z). Но это противоречит только что доказанному положению, что \H\(z)\ на положительной части мнимой оси неограниченно возрастает.
