Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
или какую-нибудь систему функций, получающуюся из системы функций Ut
путем ортогонального преобразования, где U1, и2,____ Un означают
п первых собственных функций для данной области. Минимальное значение рассматриваемого функционала равняется Xj -(- X2 -}-___Xn.
Задача. Доказать следующую теорему:
Обозначим через V1, v2,___\ ®п_3 какие-нибудь непрерывные функции
в области G и пусть d{v^, V2,... ,©„_•,} означает нижнюю грань интегрального выражения 5D['f] для функций <р, которые помимо обычных условий непрерывности удовлетворяют еще только единственному добавочному условию:
Тогда п-е собственное значение Xn равняется максимуму выражения d{v 1,v2,... ,vn_1}, иэтот максимум достигается при V1-U1,.. .vn_1 = ия_г; ip — ип. Эта формулировка любопытна в том отношении, что в нее входит только одно квадратичное добавочное условие и совершенно отбрасываются линейные добавочные условия. Зато, впрочем, это квадратичное добавочное условие принимает несколько более сложный вид и выходит за пределы обычных рамок изопериметрических задач.
Предоставляем читателю в виде задачи аналогично формулировать соответствующую элементарную задачу для квадратичных форм.
Другие формулировки задачи нахождения собственных значений, полезные при некоторых применениях, мы приведем здесь для частного случая диференциального уравнения Ди-J-Xu = O при граничном условии и = 0.
Найти минимум максимумов выражения:
*G
п'ри добавочных условиях:
Dfe1^l = O (1=1,2, ..., п 1), 438
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
где смысл термина „минимум максимумов" очевиден. Этой задаче эквивалентна, далее, задача нахождения максимума минимумов выражения:
(Дф)2 dx dy
при тех же добавочных условиях, причем только на функции сравнения <р должны быть наложены требования непрерывности первых производных и кусочной непрерывности вторых производных.
4. Асимптотическое распределение собственных значений для случая колебания пластинки. Для диференциального уравнения колебаний пластинки
ДДи —Xu = O
Ъи
при граничных условиях и = 0 и — =0 (закрепленная пластинка)
Ъп
имеет место асимптотическая оценка: откуда следует:
/ 4тгл\2
kmKTI
при этом ,A (X) означает число собственных значений, не превосходящих грани X, а Хя означает п-е собственное значение, /—площадь пластинки. Мы можем поэтому сказать: п-е собственное значение закрепленной пластинки при неограниченном возрастании п асимптотически равняется квадрату и-го собственного значения закрепленной мембраны. В частности, это асимптотическое собственное значение здесь также не зависит от формы, а зависит исключительно от площади пластинки. Аналогичное имеет место и для случая трех измерений
5. Вывести законы асимптотического распределения собственных значений для диференциального уравнения Штурм-Лиувилля (ср. результаты § 2, 3), а также для обыкновенных диференциальных уравнений четвертого порядка, пользуясь методом § 4, 3.
6. Вывести законы асимптотического распределения собственных значений для самосопряженных диференциальных уравнений эллиптического типа, к которым приводит любая вариационная задача с определенным положительным квадратичным функционаюм.
7. Провести рассмотрение задач на нахождение пары собственных значений (задач с двумя параметрами, например проблема Ламэ, см. гл. V, § 9, 3) с помощью методов вариационного исчисления.
8. Задачи с граничными условиями, содержащими параметр X. Рассмотренные нами в гл. V, § 16, 4 примеры задач на
*) Сы. Courant R., Uber' die Schwingungen eingespannter Platten, „Math. Zeitschr.«, т. XV, 1922, стр. 195- 200. Дополнения и задачи к шестой главе
439
разыскание собственных значений с граничными условиями, содержащими параметр X, также легко сводятся к вариационным задачам. Так, например, чтобы нййти функцию U1 удовлетворяющую диференциальному уравнению Ди =0 и граничному условию ^ = Xw, мы должны решить следующую вариационную задачу: найти минимум интеграла
j] (9,4- ^y3) dxdy,
если на функции сравнения ср наложены условия, чтобы интеграл по контуру от ср2 удовлетворял соотношению:
і tp ^ds= 1
и чтобы выполнялись еще некоторые другие добавочные линейные условия, выбранные подходящим образом. Предоставляем читателю провести подробнее эту мысль.
В случае, когда G является кругом радиуса, равного единице, решениями этой задачи служат гармонические функции г™cos«}), rnsinm'}, а собственными значениями являются числа In = п2.
Вообще для любой области G можно показать, пользуясь методами, изложенными выше в настоящей главе, что собственное значение In является величиной порядка и2, откуда вытекает согласно § 3, п. 1 полнота системы собственных функций, причем полнота определяется с помощью выражения
= ^tP2 ds,
г ¦
т. е. граничные значения собственных функций образуют полную систему функций от дуги S, откуда снова следует, что всякая гармоническая функция, регулярная в области G, может быть аппроксимирована в среднем с помощью собственных функций рассматриваемой краевой задачи.
