Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
sin 2rx sin^ -(- ji sin 2ry sin х, где Ji означает положительную постоянную, достаточно близкую к единице, имеют только одну узловую линию. На черг. 6 и 7 показано для случая г= 6, как такая узловая линия получается путем непрерывной деформации из системы узловых линий при Ji=I.
§ 7. Дополнения и задачи к шестой главе.
1. Вывод минимальных свойств собственных значений из их полноты» Опираясь на свойство полноты системы собственных функций, определяемых вариационной задачей, мы доказали в настоящей главе, что этими функциями исчерпывается вся совокупность решений соответствующего диференциального уравнения. Но может случиться, как,, например, в случае тригонометрических функций и функций Лежандра, что нам заранее известно, что найденная система собственных функций данного диференциального уравнения обладает свойством полноты. Тогда можно, наоборот, доказать, что эта система функций совпадает с системой функций, определяемых соответствующей вариационной задачей. Приведем эта доказательство.
Пусть речь идет о диференциальном уравнении:
L [и] -[- 'Ipu = 0
') Ср. Siern A., Bemerkungen uber asymptotisches Verhalten von Eigenwerten und Eigenfunktionen, Diss. Gottingen, 1925. § 7
Дополнения я задачи к шестой главе
435
для двумерной области G и при граничном условии и = 0. Пусть Hj, и2,... означают собственные функции этого диференциального уравнения, X1, X2,... — соответствующие собственные значения.
Докажем прежде всего, что для всех функций if, непрерывных внутри О, имеющих в G непрерывные первые и кусочно-непрерывные вторые прЪизводные и, сверх того, удовлетворяющих граничному условию if = 0 на границе Г области G и добавочным условиям:
И
и
о
Pf1 dxdy = 1, (50)
PifUfdxdy=O (і= 1,2, ..., ті — 1), (51)
а
имеет место неравенство:
В самом деле, из формулы Грина и в силу граничного условия if = 0 следует, что
Л[<р] = —<fL[y\dxdy.
Применяя, дапее, условие полноты [см. формулу (23'), стр. 404] к функ-
м<р]
циям if и -ij^ , мы получим:
со г г
D[<p] = — ]ГуЛ \utl[m]dxdy, (52)
I=I с*
"ii^W9widxdy-
о
Но из уравнения (52) мы получаем, снова применяя формулу Грина и принимая во внимание, что = — Ijpul, соотношение:
со
ОИ-EW- (S3)
1=1
Так как в силу условия (51) Y/ = 0 при і = 1,2.....п — 1, а в силу (50)
и условия полноты имеет место равенство:
со
Z^2=1'
Ii=I
то отсюда непосредственно следует, что если I1 расположены в порядке их возрастания, то
0[<р]>Х„.
28* 436
Применение вариационного исчисления
Гл. VI
Путем непосредственного вычисления мы получаем далее, как мы уже показали раньше, что
что и доказывает минимальное свойство п-й собственной функции относительно определенного выше класса функций сравнения tp. Что это свойство сохраняется и относительно таких функций tp, для которых предполагается только непрерывность и существование кусочно-непрерывных первых производных, следует из того, что всякую такую функцию и ее производную всегда можно аппроксимировать с помощью функций, имеющих кусочно-непрерывные вторые производные, так, чтобы интеграл D [tp] сколь угодно мало отличался от соответствующего интеграла для аппроксимирующей функции.
2. Отсутствие нулей у первой собственной функции. На стр. 429 мы охарактеризовали первую собственную функцию как единственную собственную функцию, не имеющую нулей внутри основной области. Приведем другое доказательство этого свойства первой собственной функции, основанное на методе, принадлежащем Якоби и часто применяемом в вариационном исчислении (метод мультипликативной вариации).
Ограничимся случаем диференциального уравнения:
Ди — qu-\-\u = 0.
Мы должны доказать следующую теорему: если существует такое решение и этого диференциального уравнения, которое обращается в нуль на границе Г области G, но не обращается в нуль нигде внутри G, то
?)[<р] = ^ (<р2 + <р2 + ?<р2)dxdy^l [[^dxdy
•at х -Oj
для всех до/густимых функций сравнения tp, причем равенство имеет место только для функций tp = си, где с — постоянная. Для доказательства представим функцию tp в виде tp=ijm, что возможно, так как и не обращается в нуль внутри G. Тогда
5) М=$\[и«(і?+ г$)+2иихщх + 2ииущу+ К + Mp ч» + 0B24S] dxdy.
"а
Так как 2щх = (^i2)jc, 21313v = (IJ2)1, то, интегрируя по частям и принимая во внимание, что появляющиеся при этом интегралы, взятые по границе, обращаются в нуль, мы получаем:
5) [tp] = Ц [иЦщІ + іfy) — иДиіі2 + </«2f)] dx dy.
"a
Принимая во внимание диференциальное уравнение Дм — qu -[- \и = О, которому удовлетворяет функция и, мы получаем:
S [tp] = [\ [u2(tj2 -f гф 4- dxdy saX ^ u*T?dx dy=l tfdxdv,
G ІЗ G
причем равенство имеет эдесто только в случае IJjc=IJ =0, т. е. для Tj = const, что и требовалось доказать. § 7
Дополнения и задачи к шестой главе
437
3. Другие минимальные свойства собственных зна-
где в качестве систем функций сравнения V1, V2,..., Vn допускаются все системы взаимно ортогональных и нормированных функций, непрерывных и имеющих кусочно-непрерывные производные в основной области, имеет решением систему функций:
