Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
диференциальные уравнения — — = X, где X надо так определить,
/ v
чтобы для нее существовала собственная функция v(x,y), исчезающая на контуре Г. Если VvV2,...-—полная система фундаментальных функций с собственными значениями X1, X2,..., то теорема о разложении
со ,__
утверждает, что рядом вида ^ I апе*'"?vn (х,у) приг = 0
л = 1
и Z = тт можно представить заданные краевые значения на поверхностях оснований. Стало быть, этот ряд представляет собой решение нашей краевой задачи, если только он равномерно сходится и если равномерная сходимость сохранится и после того, как мы его продиференцируем один или два раза по любому из переменных х, у, z.
3. Задача Ламэ (La mё). По существу самый общий случай, б котором краевую задачу теории потенциала можно процессом расщепления привести к задаче о нахождении функций одного единственного переменного, которые с своей стороны характеризуются задачей о собственных значениях, это случай софокусного ортогонального шестигранника. Под этим названием мы разумеем область, ограниченную попарно кусками двух эллипсоидов, двух однополых и двух двуполых гиперболоидов, принадлежащих к одному и тому же софокусному семейству
і У* і . 1
--—j---)-?-—= 1
S Є-t S" |м 6п S 6о
1 s s 3
(ср. гл. IV, § 8, 3). Почти все разобранные раньше случаи краевой задачи можно рассматривать как частные или предельные случаи этой. „задачи Ламэ". Если ввести, пользуясь обозначениями гл. IV, эллиптические координаты р=/(и), о = g (v), т = h(w), то уравнение потенциала ДГ=0 принимает следующий вид:
te{v)-~h{w)YTn.,±\f(u)-h(w)}Tvv + [f(u)-g(v)]Tmw _0 [g(v) - h (w)) [/(и) - h (W)] [/(«) - g(v)\
Попытаемся теперь удовлетворить этому уравнению предположением
T=U(U) V(v) W(w); 315 Проблемы колебаний
Гл. V
мы получим решение диференциального уравнения AT=O1 найдя решения следующих трех обыкновенных диференциальных уравнений с двумя произвольными постоянными X, ц:
f/'+[X/(«) + n]f/=0, (37)
V"— + JIjVr=O1 (38)
IF'-f [XA(w) ji] BT= 0. (39)
При этом переменные и, V, W лежат в различных интервалах, определенных условиями:
P2</("XPi> s?alt Z2 ^h (w) ^xv
которым соответствуют следующие условия:
M2 к SS M1, v2^v ^vv wv
Наш софокусный ортогональный шестигранник задан при этом условиями вида
P2 s^ р < p1 о2 о ss o1 < t2 < т ss tr.
Если вместо м, V, W пользоваться координатами р, о, T и обозначать без различия независимую переменную через s, а зависимую — через У, то уравнения (37), (38), (39) можно записать в общей форме:
. . <f'(s)dY ^v
»«Лі"+ 2 5ї + (ів + »1,У=0'
причем введено обозначение
4 (s — ег) (s — е2) (s — е3) = (р (S).
Решения этого уравнения, так называемого уравнения Ламэ, представляют собою функции, зависящие от выбора постоянных X, ц и не приводящиеся, вообще говоря, к элементарным трансцендентным функциям. Они носят название функций Ламэ и являются предметом многочисленных исследований, хотя до сего времени разработано относительно мало средств для их вычисления. Мы удовольствуемся здесь постановкой соответствующей задачи о собственных значениях. Краевую задачу теории потенциала для софокусного ортогонального шестигранника, очевидно, можно б/дет решить, если владеть ее решением для того частного случая, когда заданные краевые значения на пяти из шести граней суть нули. Решение общей краевой зада їй представится тогда в виде суммы шести таких частных решений. Теперь пусть, например, т=т2 — та грань, для которой не задано краевое значение нуль. В таком случае вопрос зак іючается в отыскании таких решений U, V, W уравнений Ламэ (37), (38), (39), для которых выполняются условия:
U(U1) = U(U2) = V (V1) = V (V2) = W(W1) = О, между тем как для W(W2) не поставлено никакого условия. Произведение
T= U(U) V(v) W(W) §9 Краевая, задача теории потенциала и собственные функции 316
будет тогда решением уравнения Д71= 0, исчезающим при Р —P2. P = Pl. ° = а2' 0 = °i. T = T1.
И вот, как будет выяснено, указанным условиям возможно удовлетворить не при всяких значениях постоянных X, р. Мы именно и поставим задачу: выбрать эти постоянные таким образом, чтобы можно было удовлетворить поставленным требованиям надлежащими функциями Ламэ U, V; в таком случае всегда будет существовать и соответствующая функция W. Перед нами здесь задача о собственных значениях нового рода, так называемая задача о собственных значениях с двумя параметрит, в которой речь идет об определении пар друг другу соответствующих собственных значений X, р, для которых диференциальное уравнение (37) имеет решение, исчезающее при и = U1 и и = и2, а диференциальное уравнение (38) имеет решение, исчезающее при V = V1 и v = v2.
В этой задаче о собственных значениях дело обстоит вполне аналогично, как и в обыкновенной задаче с одним параметром, а именно: существует бесконечно большое число пар собственных значений Jxi и соответствующих решений U1, V1 нашей задачи. Всякая функ-ция от и, и, непрерывная в прямоугольнике U2 и ^ U11 U2=Si V^v1 вместе со своими производными до второго порядка и исчезающая на контуре этого прямоугольника, может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд вида:
