Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
степенной ряд «= E апхп. Как и выше, у диференциального .урав-
я = 0
нения (44), можно принять, что и является четной или нечетной функцией, что, стало быть, в степенной ряд входят лишь только четные или только нечетные степени X. Диференциальное уравнение дает для неисчезающих
о„+9 2 п — X
коэфициеитов рекуррентную формулу -2— = -— ——— , откуда
aK ("+1M" + 2) прежде всего следует, что наш ряд либо обрывается — именно, если X =2п, четному целому неотрицательному числу—и в этом случае дает полином Эрмита Hn, либо имеет бесконечное число неисчезающих коэфициеитов и сходится для всех значений х. Коль скоро 2п — X положительно, все коэфициенты ап — одного знака. Так как во втором случае имеются члены ап х" со сколь угодно большим п, которые превосходят при достаточно большом значении х всякую заданную степень л, то и не может быть фундаментальной функцией нашей задачи. Этим самым устанавливается, что полиномы Эрмита являются единственными решениями нашей задачи.
Полиномы Лагерра мы рассмотрим несколько подробнее, имея в виду их применение в дальнейшем (стр.323). Основной рбластью является здесь положительная действительная ось 0 < л* со, а днференциальное уравнение, которому удовлетворяют полиномы Лагерра u=Ln(x) для Задачи штурм-лиув«ллевского типа
311
собственного значения 1=п (п— целое положителіное число), гласит:
хм"-J-(1.......х) и'4-ли = 0 (50)
(см. гл. Н, § 9), или в самосопряженной форме:
(хе~х и'/ -f \е~хи = 0,
причем в качестве краевых условий требуем: конечности решения при X = 0 и обращения в бесконечность порядка не выше, чем некоторая положительная степень х при х • -> со. Для соответствукщих ортогональных функций
X
получается штурм-лиувиллевское диференциальное уравнение:
(*»')'+(-2— + Ь =
причем в качестве краевого условия требуется регулярность решения при X = O. Заметим, наконец, что функции
1
W = Sn = X~ 2COhs
которые в дальнейшем встретятся, удовлетворяют самосопряженному диференциальному уравнению:
х2_2х_1
(X2Wt)'--—;-W -J- Ixw = 0,
причем требуется исчезание решения при X -*¦ со. Соответствующими собственными значениями являются положительные целые числа 1 = п.
Как и у функций Лежандра в п. 2, процессом диференцирования и умножения на подходящих множителей приходим и здесь к лагерров-ским функциям высшего порядка, которые удовлетворяют аналогичным диференциальным уравнениям. Прежде всего из уравнения (50) после ^-кратного дифереицирования следует, что функции
U=Ln- (х) = ~ Ln(X)
удовлетворяют диференциальному уравнению;
хм"-J- (т -J- 1 — х) и'-J-(А— т) м = 0, (51)
которое можно записать в следующей самосопряженной форме:
(х"1+1 е-xUl)' 4-x'"e--v (1 — т)и = 0. Соответствующие ортогональные функции
т л-V = &пт = X^ Є ' 2 / "' Гл. V
удовлетворяют ппу р м - л и у пил л е н ско м у уравнению (XV
>,> і /1 — т -V ^2X . . „
4-(-2---T+ = (51)
а функции
і
да = ,S''" = л: 2" to"
удовлетворяют диференциальному уравнении)
, , л2 + 2 (т —-1) х-\-т2 — 1 . .
(xhv')'--------------J1—-------I!) 4- /. XW =O (51")
для соответствующих собственных значений X = я, где п—целое число, большее или равное т, а краевые условия разумеются сами собой из предыдущего.
Для того чтобы показать, что наши диференциальные уравнения не имеют других собственных значений и собственных функций, вносим
со
в уравнение (51) степенной ряд и = ^ а-> х' и получаем для коэфициен-
O
тов с помощью рекуррентной формулы следующее выражение:
і
_ а0(т — к) ... (т — ). -J- v — 1)
~ v! (я! -j- 1)... (/re -j- v)
Замечаем, что при произвольно заданном значении X коэфициенты этого ряда, начиная с некоторого определенного v, имеют постоянный знак и что ряд сходится для всех значений X, стало быть, действительно представляет регулярное при О sg X < со решение диференциального уравнения (51). Для целого положительного X = п (п^>т) ряд обрывается и представпяет собою, следовательно, многочлен. При всяком другом значении X легко получить оценку вида:
KI > Jv
Iv''
где с — надлежащая постоянная, а г - также подходящий положительный целый показатель. Но отсюда вытекает, что наше решение при х—>со
ех
стремится к бесконечности порядка не ниже чем —). . Таким образом доказано, что оно не может быть фундаментальной функцией нашей задачи.
§ 11. об асимптотическом поведении решений штурм-
лиувиллевских дифереициальных уравнений.
Специальный вид штурм-лиувиллевских дифереициальных уравнений позволяет, при общих предположениях относительно коэфициеитов, вывести суждения о поведении всех решений как при возрастании параметра, так и при бесконечном возрастании независимых переменных. § її Об асимптотическом поведении решений
313
1. Ограниченность при бесконечном возрастании независимого переменного. Представим себе, что диференциальное уравнение, согласно формуле (19') на стр. 277, приведено к виду и"-j- JJt (х) и = 0, и предположим, что JJt(Ar) при х-*со стремится к положительному пределу, который без ограничения общности можно Принять равным единице. В таком случае, введя обозначение jjt=l-|-p, можно в основу нашего рассмотрения положить диференциальное уравнение:
