Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
00
^ClUi(U)Vt(V),
1 =I
причем суммирование распространяется на все произведения Ламэ U1(Ij)V1(V), принадлежащие парам собственных значений. Эти произведения Ламэ удовлетворяют, кроме того, условию ортогональности:
Щ «і
j j [/(и) - Є («) ] U1 (и) V1 (V) Uk (и) Vft (V) dvdu = 0,
UiVl
если они принадлежат различным парам__ собственных значений.
Для решения нашей краевой задачи отнесем функциям U1, V1 такие функции Wj(W), которые удовлетворяют уравнению (39) при X = X/f P = P; и исчезают при W = W1. (Что такое решение существует, следует из общих теорем существования в теории дифереициальных уравнений.) Функции W1(W) при W = W2 не исчезают; ибо в противном случае функция T= UVW была бы неисчезающим решением уравнения ДГ=0 с равными нулю краевыми значениями, что в силу элементарных фактов теории потенциала невозможно (ср. т. II).
Краевые значения, заданные на грани w = w2i можно разложить в ряд вида:
00
^alWl(W2)Ul(U)Vi(V)I
1 =- J 304
Проблемы колебаний
Гл. V
тогда ряд
со
XV^«) V1(V) W1(W)
J= і
даст требуемое решение краевой задачи теории потенциала для нашего софокусного ортогонального шестигранника.
Необходимо заметить при этом, что, в связи с данной выше формулировкой теоремы разложения, на заданные значения функции T на гранях должно еще быть наложено то ограничение, что 7 исчезает на всех ребрах софокусного шестигранника. В действительности, однако, это ограничение не обязательно, на чем йы здесь, впрочем, останавливаться не будем.
Покажем еще, что наша задача о собственных значениях с двумя параметрами может быть естественным образом приведена к задаче с одним параметром привычной нам формы, но на уравнение с частными производными. В самом деле, возьмем функцию Z (и, v) = U(u) V(v), причем U (и) удовлетворяет диференциальному уравнению (37), a V(v) — диференциальному уравнению (38); из этих двух уравнений, помножив первое на V, а второе на U и сложив их, получим для функции Z (и, v) диференциальное уравнение с частными производными:
Zuu + Zw + 4f(u)-g(v)]Z=0. (40)
Собственное значение X=Xi и соответствующая фундаментальная функция Z1 = U1 (и) V1 (v) решают задачу о собственных значениях этого диференциального уравнения для прямоугольника G: U2^ Us^U1, V2^ V^V1 при краевом условии Z = 0. [Заметим, что это диференциальное уравнение можно было также получить из уравнения Ar=O подстановкой T= Z (и, v) W(w),} Диференциальное уравнение (40) имеет вид AZ -[-XpZ = O,. причем функция р = /(к) — g(v) положительна во всем прямоугольнике G; перед нами, стало быть, задача о собственных значениях с одним Параметром X совершенно в прежнем смысле, а для этой задачи вопросы о существовании фундаментальных функций и о теореме разложения полностью укладываются в привычную для иас схему. Забегая вперед с ответом на этот вопрос 3), мы можем, таким образом, утверждать существование для прямоугольника G бесконечного множества собственных значений X1, Х„... и соответствующих, исчезающих на границе фундаментальных функций Z1, Z2,..., по которым можно разложить произвольные, в очерченных выше рамках, функции. Остается только показать, что все собственные функции Z1 являются произведениями Ламэ U(и) V (v) или, самое большее, суммами конечного числа произведений Ламэ, принадлежащих одному и тому же собственному значению X.
Для этой цели обозначим полную систему собственных значений и
фундаментальных функций уравнения (40) через XpX2,___и Z1, Z,,...
соответственно. Пусть Xh — одно из собственных значений; рассмотрим
') См. §§ 14 и 15. §9
Краевая, задача теории потенциала и собственные функции
305
теперь задачу о собственных значениях обыкновенного диференциального уравнения:
d^T +[V("> +
при том же кр зевом условии Ar = O при U = U1 и U = U2. Обозначим соответствующую бесконечную последовательность собственных значений И нормированных собственных функций через fJLj, JX,,.., И X1, X2,... соответственно. По этим собственным функциям можно разложить всякую функцию, исчезающую при U = U1 и и = и2, непрерывную в интервале U2^ и =^u1 вместе со своими производными до второго порядка, а в остальном совершенно .произвольную. В частности эта теорема о разложимости справедлива и для функции Z (и, v), зависящей еще от v как параметра; пишем это разложение в следующем виде:
оо
Z(и, V) = X Xa(U),
л = 1
причем
Щ
Yrl(V) =t^ Z (и, V) XJu) du.
щ
ГІродиференцируем Yn дважды по v и преобразуем интеграцией по частям. Имеем:
«і щ
= J (- zUU - К [/(«) - g И) Zy) хп du
Its "l
= \ Z (-^l - К If (") - S И] к) du
"і
т. е Yn есть фундаментальная функция диференциального уравнения (38) для области v2 =^ v ^ V1 при заданном краевом условии. Другими словами, пара значений \h, несоответствующими функциями Xn (и), Yn(v) являются решением нашей двухпараметрові й задачи о собственных значениях— если только соответствующая функция Yn (v) ие исчезает тождественно. Но ведь на основании исходных рассуждений произведение XnYn является собственной функцией уравнения (40), принад нежащей собственному значению а всякое собственное значение этого уравнения в силу общей теории (которая будет обоснована лишь в следующей главе) может обпадать только конечной кратностью. Поэтому 20
