Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
*=Т I !-(^71)^2)] I1 - (Г-:з) (VTT4) I • • • [l - (.,-2/,+ 1)(7-?) I ka^ (46)
где A=v— 2/г. Наш ряд для и обрывается в том и только в том случае, если X— число вида /г (лг —1); нетрудно убедиться, что в этом случае и представляет собой п-й полином Лежандра. Для всех иных значениях получится бесконечный ряд, который, согласно элементарным признакам, сходится при Дадим числу А определенное значение, притом столь большое, чтобы все сомножители написанного выше произведения были положительны (ak можно считать положительным). Так как с возрастанием v произведение, записанное при помощи квадратных скобок, в правой части формулы (46), в силу известных теорем, стремится к положительному предельному значению, то при V А наверно
tiv ]> — , где с — положительная постоянная. В силу этого сумма ап х"
tt = k
становится сколь угодно большой по абсолютной величине, когда | х | достаточно близка к единице, a v выбрано достаточно большим. Но отсюда следует, что Iim \и(х)}=<х>, так что X не может быть собст-
-V і
венным значением г).
Из диференциального уравнения полиномов Лежандра легко вывести другие ортогональные системы собственных функций методом, идея которого имеет далеко идущую общность. Диференцируя уравнение (44) по х, получим диференциальное уравнение для функции и'(х), и так же точно, как и выше, окажется, что лишь при X = 1) существует решение,
регулярное в обеих конечных точках интервала, а именно Pn (л). Полученное таким путем для Pn'(х) уравнение не является еще самосопряженным, но его можно сделать самосопряженным, введя функцию Pn (х) }/l—X2--=Zn в качестве неизвестной. Тогда новое уравнение гласит так:
[(1 Хг = 0;
собственными значениями будут числа Х = и(«-{- !)(« = 1, 2, 3, ...) с фундаментальными функциями:
Zn =V^ X2 Pn (х).
J) С изложенным выше рассуждением, которое, кстати, находится в тесной связи с' признаком сходимости Раабе и, соответственно, Гаусса, ср. Kneser А, Zur Theorie der Legendreschen Polynome, Tohoku math. Journ., т. 5, стр. 1 —7, 1914. Задачи штурм-лиув«ллевского типа
309
Функции Zll=Pnl (л) называются сопряженными функциями Лежандра первого п/рядка. (Функции Pn (х) = Pn 0 (х) мы при случае будем называть функциями Лежандра нулевого порядка.) Функции Лежандра Pn ] удовлетворяют соотношению ортогональности + і
\ РпЛРт, ^X = O при И фт. --¦ 1
Точно так же, диференцируя уравнение (44) h раз, получим для функции
(І/Т=^)* Pn (X) = Pflth V)
диференциальное уравнение:
[(1—л8)*']'—+ = 0 (47)
с собственными значениями \ = п(п-\- 1) (n = h, h 4- 1,...) и соответствующими собственными функциями Pn h(x), которые также взаимно ортогональны и называются функциями 'Лежандра h-го порядка. Их нормирование, производится при помощи следующего легко доказываемого равенства:
Tetjxr 2 <"+»'¦
— і
2и+1 (n—h)\
Что таким путем получены все собственные значения и фундаментальные функции диференциального уравнения (47), доказывается таким же образом, как и для полиномов Лежандра.
3. Полиномы Якоби и Чебышева. Обобщение полиномов Лежандра представляют полиномы Якоби из гл. И, § 9, диференциальное уравнение которых можно записать в следующей, также штурм-лиу-виллевской, форме:
[(1 ~х)ч (1 4-x)P-i+l it'J'-fІ (\—х)ч-і (1 -fx) Р-ч и = 0;
/z-му полинову Якоби принадлежит собственное значение ). = п (р -{- и) при краевых условиях: конечность при лг = + 1. Что других решений этой краевой задачи, кроме полиномов Якоби, не существует, можно доказать так же, как н выше, двояким путем.
') Промежуток изменения X в данном случае, в отличие от гл II, взят
' Связь между старым независимым переменным 5 и новым х дается j_х
формулой: Q ---- —— • Для нового независимого переменного диференциальное уравнение (25'), стр. 83, имеет вид:
(1 -x) (1 +JC) и" — \2q -(/> + 1) (1 —X)] и' + (/> + п)пи= 0 или в самосопряженном виде:
|(1 _ Х)я П + а-) р ч*'+ X (1 - х)'1 ' (1 + x) и = 0.
(Іїрим. пер.) 310
Проблемы колебаний
Гл. V
Дальнейший пример представляют полиномы Чебышееа, удовлетворяющие штурм-лиувиллевскому диференциальному уравнению:
(/ 1 — л?и'У + U-. '
Vi'
X1
2
тоже при краевых условиях: регулярность при х = +1. Собственное значение, принадлежащее полиному Чебышева 7Jx), есть X= и2, и так же, как и выше, этим исчерпываются все собственные значения и фундаментальные функции.
4. Полиномы Эрмита и Лагерра. Аналогично определяются полиномы Эрмнта и = Нп(х) и соответствующие эрмитовы ортого-
нальные функции v = Нпе г , как решения следующих задач о собственных значениях (ср. гл. II, § 9, 4):
(e-*V)'-f >.е~*2и = 0 (48)
и соответственно
г>"+(1 — X2) г> + Хт/ = 0 (49)
с собственными значениями X = 0, 2, 4, 6,... Основной областью является вся прямая — оо х + оо, а краёвое условие к уравнению (48) требует, чтобы фундаментальная функция и прн х= + со могла обращаться в бесконечность лишь того же порядка, как конечная степень х. Что кроме этих полиномов эрмитовская задача о собственных значениях других решений не имеет, можно показать следующим образом. Напишем диференциальное уравнение (48) в віще: и" — 2хи' + Iu = 0 и вместо и подставим со
