Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
Курант-Гильберт. 306
Проблемы колебаний
Гл. V
среди функций XrlYn обоих переменных UWV может встретиться лишь конечн )Є число k линейно независимых. Кроме того, можно принять, чіо ни одна из функций Xn и Yn не исчезает тождественно, ибо в противном случае соотв тствующий член можно просто опустить. Между всякими к-\-\ произведениями XnYn существует тогда линейное соотношение-
k+\
^XnYn=O.
.V = 1
Если дать в этом равенстве переменному v такое значение, при котором все Yn отличны от нуля, то получим линейное соотношение между всеми Xn . Но так как фундаментальные функции, принадлежащие раз-
V
личным собственным значениям ц, линейно независимы, выражение Z = ^XnYn вообще может содержать лишь конечное число членов, что мы и имели в виду показать.
Теперь можно произвольную, с указанными выше ограничениями, функцию разложить по собственным функциям Z1, и мы попучаем таким образом следующий результат: всякая функция, непрерывная в прямо-. угольнике U9 ^ и ^ U1, V2 sg; V =? V1 вместе со своими производными до второго порядка и исчезающая на его контуре, может быть разложена в ряд произведений Ламэ.
§ 10. Задачи штурм-лиувиллевского типа. Особые
краевые точки.
Прч процессах расщепления, приводящих к задачам на определение собственных значений, часто получаются диференциальные уравнения, принадлежащие к штурм-лиувиллевскому типу, т. е. уравнения вида:
(ри'У — qu -f- \ри = О,
с тем, однако, существенным отличием от случаев, рассмотренных в § 3, что в конечных точках основной области могут иметь место особенности диференциального уравнения, например исчезание значения /0(0). Для э'их особых точек из самого характера задачи получаются при этом некоторые условия, как, например, непрерывность или конечность ре пения или обращение его в бесконечность не выше заданного порядка, каковые условия принимают на себя роль однородного краевого условия.
1. Бесселевы функции. Примером может служить рассмотренное уже в § 5, 5 диференциальное уравнение Бесселя:
JI2m-J-Xxm = O, (41)
которое получается в самых разнообразных вопросах математической физики. Сделанное в § 3, 3- предположение, что р > 0 во всей основной области 0 =^ Jf=^l, здесь уже не имеет места, ибо (0) = 0. Точка д; = 0 является в смысле общей теории линейных дифереициальных уравнений особой точкой диференциального уравнения Бесселя, и требование, чтобы решение оставалось конечным в этой точке, Задачи штурм-лиувиллевского типа
307
будет для него специального вида краевым условием. Kp евые условия нашей штурм-лиувиллевской задачи гласят здесь так: решение остается конечным при X = O и, например, исчезает при лс=1. Фундаментальными функциями являются бесселевы функции Jn (]/Х х), причем X = Xn т определяется из краевого условия при Jc= 1, как корень некоторого трансцендентного уравнения.
Если вместо бесселевых функций u = J [У \ х) пожелаем рассматривать соответствующие ортогональные функции г = У xJn{y \ дг), то можно их охарактеризовать как решения диференциального уравнения:
^ _ г + U = о, (42)
X2
которое получается без затруднений из уравнения Бесселя.
(Мы имеем здесь примеэ того преобразования, которое в общем виде было приведено на стр. 276.)
Для функции _
.= -г ^Jп{У}х)
^X У х получается диференциальное уравнение:
(А2 _ («2 _ 1/4) С + U2 с = 0. (43)
2. Функции Лежандра любого порядка. Задачу того же типа представляет штурм-лиувиллевское диференциальное уравнение:
[(i-a2)b']'4-х« = 0 (44)
при следующих краевых условиях: и остается конечной для л: = —1 и Jc = —1, обеих особых точек дифзренциального уравнения; основной областью является— 1 с х + 1- Из гл. II, § 8 мы знаем, что числа X = = и(«-|-1) являются собственными значениями, а функции Лежандра Рп(х) — собственными функциями этой задачи.
Нетрудно показать, что полиномы Лежандра — единственные решения этой задачи о собственных значениях. Доказательство вытекает, например, без дальнейших рассуждений из того известного уже из гл. II, § 8 факта, что функции Лежандра образуют полную ортогональную систему. Независимо or этого дадим нижеследующее прямое доказательство. Заметим, что одновременно с и=/(х) удовлетворяет нашему диференциальному уравнению и функция/(—*), а стало быть, удовлетворяют ему и функции f(x) +/( — х) и f(x)—f{—аг), из которых одна — четная, другая — нечетная и одна, по крайней мере, не исчезает тождественно, ибо функция и, по предположению, не равна тождественно нулю. Итак, достаточно показать, что всякое четное и всякое нечетное решение и уравнения (44), непрерывное при — 1 a: + 1, есть полином Лежандра и что при этом X должно быть числом вида п(п-f- I). Подставив и в виде степенного ряда-
со
ч=0
20* 308
Проблемы колебаний
Гл. V
получим из уравнения (44) рекуррентную формулу:
(v—l)(v —2)-/.
V(V-I)
v —2'
(45)
Если и — четная функция, то все ач с нечетным v — иулії; если же и — нечетная функция, то нулями будут коэфициенты а., с четным v. Из уравнения (45) в случае v — 2/?]>0 имеем:
