Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
(г' ^'+SP* fVf+? (M»sin
которое в результате процесса расщепления u = v(r) K(o, (р) приводит для V к диференциальному уравнению:
(rVy — Iv = O, (35)
общее решение которого гласит:
где C1 и C2 — произвольные постоянные, a OE1, O2 — корни квадратного уравнения :
а(а4- 1)=1.
Для функции Y получаем поставленную уже в § 8 задачу о нахождении собственных значений диференциального уравнения:
д,К + XF== _1_ + (sin0)&J + XK= 0, (36)
причем собственное значение 1 следует так определить, чтобы диференциальное уравнение имело не исчезающее тождественно решение, допускающее на всей сфере непрерывные производные первого и второго порядка.
Для того чтобы выяснить, какого поведения функций Y надо потребовать на полюсах сферы, т. е. при O = O и 0 = тг, заметим, что выражение Д инвариантно относительно вращений координатной системы, а следовательно, и выражение Д* на поверхности шара, т. е. выражение, получающееся из Д при г = 1, должно оставаться инвариантным при введении иначе ориентированных полярных координат, т. е. другой системы кругов долготы и широты, так что особенность диференциального уравнения (36) при o = 0 и & = тг кроется лишь в несимметричности координатной системы. В силу этого потребуем, чтобы при вращении системы координат полюса сферы утрачивали свое исключительное положение для функции Y, стало быть, чтобы Y, как функция положения точки на поверхности сферы, удовлетворяла повсюду одним и тем же условиям непрерывности.
Проще всего можно определить собственные значения 1 и соответствующие собственные функции К, если искать, как в § 8, целые рацио-натьные относительно х, у, z и однородные степени п решения и = Un уравнения Au = O. Позже (гл. VII, § 5) мы увидим, что суще-ст вует точно 2п -j- 1 таких линейно независимых потенциалов п-й степени. Если записать их, после введения полярных координат, в форме Un = г" Yn (&, <р), то легко видеть, что функции Yn являются решениями диференциального уравнения (36). Собственное значение, принадлежащее 300
Проблемы колебаний
Гл. V
2п-\-\ функциям Yn (0, <р), оказываете^
X = я (я + 1).
Что определенные таким образом функции Yn дают всю систему фундаментальных функций нашей задачи, будет показано в гл. VII, § 5.
Далее, как и у функций Штурм-Лиувилля, получается свойство полноты и соответственно теорема о разложении, 'на основании которых суперпозицией решений: U = ^rnYn можно получить решение уравнения Au = 0, принимающее заданные значения на поверхности сферы.
Наряду с функцией и = rn Yn и функция и = г ~ + ^Yn, имеющая начало особой точкой, также является решением уравнения Au = O. Стало быть, суперпозицией решений вида rnYn и г ~ + Yrt можно найти такое решение уравнения Au = O, которое на двух концентрических шаровых поверхностях принимает заданные значения и регулярно в слое, лежащем между ними.
Если искать в частности такие шаровые функции, которые зависят только от полярного угла &, но не от долготы <р, полагая, следовательно, Kv = O, то придем к диференциальному уравнению:
sino)6 + XK=0,
которое преобразованием л: = cos o приводится к диференциальному уравнению полиномов Лежандра [ср. (20) гл. II]. Стало быть, полиномы Лежандра Pn (cos o) являются частного вида шаровыми функциями.
Можно притти к обобщению шаровых функций, если рассматривать произвольную область G на шаровой поверхности и искать регулярное в области G решение Y (9, (р) диференциального уравнения:
Д*К+ХК=0, (36)
удовлетворяющее на границе области однородным краевым условиям, например исчезающее на границе. Принадлежащие этой области фундаментальные функции Yv Y2,... называются,вообще обобщенными шаровыми функциями х). Из проделанных выше вычислений следует, что функция raY (o, ф) = и (х, у, z) является решением диференциального уравнения Au = O, непрерывным в конусе, имеющем основанием область G, а вершиной — центр шара всюду, за исключением, самое большее, нулевой точки, если а и X связаны уравнением:
а (а + 1) = Х.
Диференциальное уравнение шаровых функций Д*К-)-ХК=0 является частным случаем общего диференциального уравнения:
д*к+хк=1= h e^Jj*+* ^toJJy.Lxk=O, Veg-f\dy Veg-P Yeg-P )
принадлежащего любой кривой поверхности с линейным элементом ds2 = cdx2 2fdxdy-\-gdyi. Об инвариантном характере этого диферен-
») Ср. Thomson W. and Tait P. G., Treatise on Naitiral Philosophy, т. I, стр. 171—213, Cambridge 1886. §9 Краевая, задача теории потенциала и собственные функции 301
циального уравнения уже было упомянуто в гл. IV, § 8, 2. Его можно рассматривать как уравнение колебания „кривой мембраны", лежащей на нашей поверхности. Для поверхности сферы при введении полярных координат оно переходит в уравнение (36).
2. Цилиндрическая область. Дальнейший пример представляет цилиндр, имеющий основанием область О плоскости х, у и ограниченный плоскостями Z = О, Z = Tt. Предположим, что краевые значения заданы на боковой поверхности тождественно равными нулю, а на поверхностях оснований—произвольными функциями/ имеющими непрерывные производные до второго порядка и исчезающими на их границах Г. Ищем теперь решение уравнения Ди = 0 в виде и =/ {г) v (х, у) и получаем непосредственно, подобно предыдущему, для функций / И V
