Методы математической физики Том 1 - Курант Р.
Скачать (прямая ссылка):
и" и j-pw-O. (52)
Допущенне р->() мы заменим более жестким требованием:
а , ., „ а
<F' (S3)
где а—положительная постоянная. При этом предположении мы утверждаем, что всякое решение диференциального уравнения (52) ограничено при X -»оо, что, впрочем, естественно, ибо близкое для больших значений X диференциальное уравнение и"-\-и = 0 имеет только ограниченные решения.
Для доказательства помножим уравнение (52) на и', проинтегрируем его от положительного числа а, значение которого будет надлежащим образом выбрано позже, до х и полупим:
,,12
X Л
X X С xf
+ и2 = — 2 рии1 dx = — ри2 + ри2 dx.
a a J а
(54)
Отсюда непосредственно получается:
л'
K2H=SS и'2 (X) -}- и2 (x)s? С (a) -f- P(X)Y2 (х) -{-[[ р' | и2 dx,
а
где С (а) — выражение, зависящее только от нижнего предела а. Обозначив через M = M (х) наибольшее значение функции ] и (S) | в интервале а =? принимаемое этой функцией, скажем, в точке S1 получим
us последнего неравенства и неравенств (53):
-Ai2 < С (а)
откуда
і М2а і /1 M
Если теперь выбрать a S= 2а. то для M2 получится независящая от л: граница 2С (а), и паше утверждение доказано.
2. Уточнение результата (бесселе вы функции). Если мы относительно диференциального уравнения н"и + ри = О сделаем предположение, более жесткое, чем в п. 1, а именно, что - порядок 314
Проблемы колебаний
Гл. V
исчезания р(х) в бесконечности выше первого, например 1J, что
р = (55)
то большая близость нашего диференциального уравнения к уравнению и"-|-м = 0 влечет за собою не только ограниченность решений, но и асимптотическое их приближение к тригонометрическим функциям. Если положить
и = a sin (х -]- 8), и1 = и cos (х 8),
где а(х) и 8(*) — подлежащие определению функции х с производными а' и 8' (кстати, а нигде не может исчезать, ибо в противном случае и и и' исчезали бы одновременно в одной точце, а потому, в силу диференциального уравнения (52), функция и исчезала бы тождественно), то и" и и' можно вычислить двояким путем. Имеем:
«" = a'cos(x-f 8) — fl(8'-f-l)sin(jc-f 8) = — (1 -f р) asin(x + 8), tg(*+8)=-^; и'=a cos (х -)- 8) =' a' sin (х -{- о) -}- a (8' -j- 1) cos (х -f- 8),
tgMf+S) = -^,
S' = psin2(*-f 8), (56)
a' _
- p sin (x 8) cos (x -f- 8). (57)
a tg (x -f- 8)
Стало быть, каждая из функций а и 8 имеет при х-*со определенный предел. В самом деле, o(x) = 8(?)— ^8' (S) de.) если дать ? безгра-
X
нично возрастать, то в силу уравнений (55) и (56) интеграл справа сходится, так как подинтегральное выражение имеет такой же порядок
исчезания, как — . Следовательно, существует Iim 8 (?) = Sco; и по-
х ?-»co
следнее выражение для 8 (х), кроме того, показывает, что
*(*) = 8со + 0 (4) -
a' d
Аналогично получается из формулы (57) для Iogct следующее
») Мы пользуемся здесь общепринятым обозначением, иа основании которого под О [/(лг)] разумеется функция g(x), для которой отношение j I остается ограниченным при возрастании аргумента. § її Об асимптотическом поведении решений
315
соотношение:
а(*) = еЦі
в котором, кстати, Ctco ф 0- Таким образом имеем для всякого решения и нашего диференциального уравнения следующее асимптотическое выражение:
и = 0 3^(^ + 8) = 0(20 3^(^ + 800)-1-0^^1 -
Этот результат можно непосредственно применить к диференциальному уравнению:
решения которого, как показано, на стр. 307, связаны с решениями ут (х) диференциального уравнения Бесселя равенством:
Стало быть, для этих решений ут (х) диференциального уравнения Бесселя всегда справедливы асимптотические формулы следующего вида:
Ут {х) = sin +8со)+0 Ш •
Значения Oco и Sco для бесселевых функций Jm (х) мы позже, в гл. VII, § 6, 2, определим из других соображений, причем окажется
/2 . тк п
00 ~--2-+1-
3. Ограниченность решения при возрастании пара-м етра. Рассуждениями, аналогичными рассуждениям п. 1, можно доказать следующую теорему: Решения штурм-лиувиллевского уравнения
к" —га-fb = 0, (58)
где г — непрерывная функция, для интервала О ^ л: ^ 1, с нормирующим условием
і
^uMx= 1' b
и краевыми условиями и (0) = и (1) = 0, остаются по абсолютной величине ниже границы, не зависящей от X и от х.
Для доказательства помножим опять диференциальное уравнение на и' и проинтегрируем от О до X. Получаем:
X
и'2 (л:) -f Хи2 (л:) — 2 [ ruu'dx = u'2 (O) 4- Xa2(O). (59)
о
) ¦ 316 Проблемы колебаний Гл. V
-—-1----—
Для вычисления правой части интегрируем это равенство между пределами Он 1,_в результате чего получим:
і і f и'2 (0) -f Ы (0) = {и'Чх+ ).-2 [ dZ[ruu'dx. (60)
О 0 0
Внеся эго значение в (59) и оценив встречающиеся интегралы с помощью неравенства Шварца, имеем:
Хм2:
^+Xh^X + U^ + C, j/] u^dx-Л/ [u?dx , ^61)
где C1—положительная постоянная, не зависящая ни от х, ни от X. Из равенства
і і
\u'2dx-{-\ru4x = l,
которое выводится знакомым нам способом путем умножения уравнения (58) на tt и при помощи преобразования Грина, получаем:
і і \ u'2dx I + C2 \ и2dx
